Finais - França 2016 (Lista de questões)
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Finais - França 2016 (Lista de questões)
por Barbaducki Ter 24 Dez 2019, 17:05
Seja ABCD um trapézio isósceles com AB//CD. Seja E o ponto médio de CA. Seja ω e Ω os circuncírculos dos triângulos ABE e CDE, respectivamente. Seja P o ponto de cruzamento da tangente a ω em A com a tangente a Ω em D. Prove que PE é tangente a Ω
Última edição por Zelderis megantron em Qua 25 Dez 2019, 15:33, editado 1 vez(es)
Barbaducki- Recebeu o sabre de luz
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Re: Finais - França 2016 (Lista de questões)
por NikolsLife Ter 24 Dez 2019, 19:59
Problema legal!
Redefina P como o ponto de interseção das tangentes para Ω a D e E. Claramente, o segundo ponto de interseção de ω e Ω é o ponto médio de DB, digamos F.
Nós temos ∠PED = ∠ECD = ∠AEF ∴ ∠AEP = ∠FED = ∠FDP. Além disso, FD/PD = AE/PE, então concluímos que ΔPDF ~ ΔPEA, portanto AP = PF e ∠FPA = ∠FPE + ∠EPA = ∠FPE + ∠DPF = ∠DPE = 180° - ∠ACD, assim ∠PAF = ∠ACD = ∠ABF, então AP tangencia ω.
Feito!
Redefina P como o ponto de interseção das tangentes para Ω a D e E. Claramente, o segundo ponto de interseção de ω e Ω é o ponto médio de DB, digamos F.
Nós temos ∠PED = ∠ECD = ∠AEF ∴ ∠AEP = ∠FED = ∠FDP. Além disso, FD/PD = AE/PE, então concluímos que ΔPDF ~ ΔPEA, portanto AP = PF e ∠FPA = ∠FPE + ∠EPA = ∠FPE + ∠DPF = ∠DPE = 180° - ∠ACD, assim ∠PAF = ∠ACD = ∠ABF, então AP tangencia ω.
Feito!
NikolsLife- Padawan
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