Equação - (números reais)

por Paulo Testoni Dom 14 Ago 2011, 12:11

Quantos números reais satisfazem a equação (x²-5x+7)^(x+1) = 1?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

por **Elcioschin** Dom 14 Ago 2011, 13:17

Temos duas possibilidades:

1) A base vale 1 ---> x² - 5x + 7 = 1 ----> x² - 5x + 6 = 0 ----> x = 2 e x = 3

2) O expoente vale zero ----> x + 1 = 0 ---> x = - 1

Alternativa D

por **abelardo** Dom 14 Ago 2011, 14:49

Mestre Elcioschin, estou estudando equações exponenciais e tenho dúvida quanto a esse tipo de questão.

O meu livro diz que primeiro devemos testar se zero (0) ou um (1) são possíveis raízes. Depois devemos considerar que $0< x^2-5x+7\neq 1$ . Seguindo o que ele diz, temos:

1ª Testando zero:

$(0^2-5\cdot0+7)^{0+1}=7\neq 1$
Zero não é raiz.

2ª Testando um:

$(1^2-5\cdot1+7)^{1+1}=9\neq 1$
Um não é raiz.

3º Considerando que $0<(x^2-5x+7)\neq 1$ (Diz aqui que obedecendo a essa restrição podemos considerar a propriedade injetiva da função exponencial .... $a^x=a^y \to x=y$ , sendo $0<a\neq 1$ )

$\left\{\begin{matrix} x^2-5x+7>0, \forall x \in \mathbb{R}\\ x^2-5x+7\neq 1, \forall x \in \mathbb{R} - \left \{ 2,3 \right \} \end{matrix}\right.$

$(x^2-5x+7)^{x+1} = 1$
$(x^2-5x+7)^{x+1} =(x^2-5x+7)^0$
$x=-1$

Então só -1 satisfaz a equação proposta... fiquei sem entender o que o livro disse! Vou usar outro kkkkkk.

por **Elcioschin** Dom 14 Ago 2011, 19:13

Não posso opinar sobre o livro, pois não o conheço.

Mas posso provar que 2 e 3 são raízes:

(x² - 5x + 7)^(x + 1) = 1

Para x = 2 ----> (2² - 5*2 + 7)^(2 + 1) = 1 ----> 1³ = 1 ----> 1 = 1 -----> 2 é raiz

Para x = 3 ----> (3² - 5*3 + 7)^(3 + 1) = 1 ----> 1^4 = 1 ----> 1 = 1 ----> 3 é raiz

por Paulo Testoni Seg 15 Ago 2011, 18:32

Estimado Elcio.

Creio que o nosso amigo Abelardo está certo no seu ponto de vista. Veja:

Aqui temos uma exponencial: (x² - 5x + 7)^(x + 1) = 1

Resolvendo:
(x² - 5x + 7)^(x + 1) = 1
(x² - 5x + 7)^(x + 1) = (x² - 5x + 7)^0, cortando as bases iguais, fica:
x + 1 = 0
x = -1, desse modo só há uma solução possível, letra B.

por **Elcioschin** Seg 15 Ago 2011, 19:35

Paulo

Esta solução x= - 1 é correta mas existem duas outras soluções. Veja porque

a^b = 1 ----> Existem DUAS possibilidades:

I) b = 0 e a <> 0 ----> a^0 = 1 ----> Perfeito (Veja que 0^0 foi descartado)

II) a = 1 ----> 1^b = 1 ----> Perfeito (para qualquer valor real de b)

No presente problema ----> a = x² - 5x + 7 e b = x + 1

I) b = 0 ----> x + 1 = 0 ---> x = - 1

II) a = 1 ----> x² - 5x + 7 = 1 ---> x² - 5x + 6 = 0 ----> x = 2 ou x = 3

Prova real

Para x = -1 ---> [(-1)² - 5*(-1) + 7)]^(-1 + 1) = 13^0 = 1 ----> Confere

Para x = 2 ----> (2² - 5*2 + 7)^(2 + 1) = 1^3 = 1 ----> Confere

Para x = 3-----> (3² - 5*3 + 7)^(3 + 1) = 1^4 = 1 ----> Confere