Logarítmo com módulo

Determine o conjunto de todos os números reais x para os quais vale a desigualdade:
|log1-x²(base16)-log1+x(base4)|<1/2

Hola.

Devemos inicialmente resolver a condição de existência:

1 - x² > 0
- x² > - 1
x² < 1
x < ± 1 (i)

1 + x > 0
x > -1 (ii)

Fazendo a intersecção entre (i) e (ii), temos:
-1< x < 1 (iii)

Como a base a = 16 e a = 4 é maior que 1, a função é crescente (conserva o sinal (< ) da desigualdade)

|log1-x²(base16)-log1+x(base4)|<1/2



Vou continuar considerando a palavra log como log na base 4.

|1/2*log(1 - x²) - log(1 + x) | < 1/2, vou multiplicar toda a inequação por 2, assim:

2*|1/2*log(1 - x²) - log(1 + x) | < 1/2*2
|2/2*log(1 - x²) - 2*log(1 + x) | < 2/2
|log(1 - x²) - 2*log(1 + x) | < 1
|log(1 - x²) - log(1 + x)² | < 1, usando as propriedades dos logaritmos dentro do módulo, fica:

|log(1 - x²)/(1 + x)²| < 1
|log(1 - x²)/(1 + x)*( 1+ x)| < 1, simplificando:
| log(1 - x)/(1 + x)|| < 1

Inequações Modulares
Pela propriedade do módulo dos números Reais, temos:
I) | x | < k , se e somente se - k < x < k
II) | x | > k , se e somente se x < k ou x > k, portanto:

| log(1 - x)/(1 + x)|| < 1
-1 < log(1 - x)/(1 + x)|| < 1, aqui temos um sistema de inequação logaritma simultânea:

log(1 - x)/(1 + x) < 1 e
log(1 - x)/(1 + x) > -1

log(1 - x)/(1 + x) < 1, pela definição de logaritmo, temos:
(1 - x)/(1 + x) < 4¹
1 - x < 4*(1 + x)
1 - x < 4x + 4
4x + 4 > 1 - x
4x + x > 1 - 4
5x > -3
x > - 3/5 (IV)

log(1 - x)/(1 + x) > -1, pela definição de logaritmo, temos:
(1 - x)/(1 + x) > 4-¹
(1 - x) > 4-¹*(1 + x)
(1 - x) > 1/4*(1 + x)
4*(1 - x) > 1*(1 + x)
4 - 4x > 1 + x
1 + x < 4 - 4x
x + 4x < 4 -1
5x < 3
x < 3/5 (V)

Fazendo a intersecção entre (IV) e (V), temos:

...............-3/5............................>x
..............................3/5......................>x
(IV)∩(V).......-3/5...................3/5....................>x, logo:

-3/5 < x < 3/5 (VI)


Fazendo a intersecção entre (III) e (VI), fica:



Solução:

S = {x E |R | -3/5 < x < 3/5}