Quantidade de funções não decrescentes

I_m=\left\{\1,2,...,m\right\}, I_n=\left\{\1,2,...,n\right\} Quantas são as funções f:I_m\to I_n não decrescentes?
Resposta:\frac{(m+n-1)!}{m!(n-1)!}.
 O livro diz ""Basta escolher m elementos, não necessariamente distintos, em I_n para formarem a imagem da função, o que pode ser feito de C(n+m-1,m) modos. Escolhidos os elementos, só há um modo de estabelecer a correspondência entre os elementos do domínio e os escolhidos no contradomínio: como a função é não decrescente, o menor elemento do domínio terá por imagem o menor elemento escolhido no contradomínio, o segundo menor elemento do domínio terá por imagem o segundo menor elemento escolhido no contradomínio, etc. "

Basta pesquisar o que é uma função não decrescente.

Não são o complementar de funções decrescentes? Eu resolvi assim, aponte meu erro: O número total de funções em Im para In é o total de subconjuntos de In menos o conjunto vazio e menos os subconjuntos que possuem mais de m elementos (já que ai teriamos mais de uma setinha saindo de um elemento no dominio). Matematicamente: 
2^n-1-\binom{n}{m+1}-\binom{n}{m+2}-...\binom{n}{n}=2^n-1-\sum_{i=m+1}^{n}\binom{n}{i}
E o número total de funções decrescentes é \binom{n}{m}. Assim, o número de funções não-decrescentes é
2^n-1-\sum_{i=m+1}^{n}\binom{n}{i}-\binom{n}{m}
Mas não está de acordo com o gabarito mesmo assumindo valores pra m e n.
Editado: Eu cometi 2 erros aqui: o número de funções I_m->I_n não é 2^n-1-(soma binomial), porque uma função não é determinada somente pela presença ou não de um elemento no conjunto imagem mas também pela forma com que cada elemento da imagem se relaciona com cada elemento do domínio. Nessa contagem eu considerei, por exemplo, que f(x1)=2 f(x2)=1 é a mesma coisa que g(x1)=1 g(x2)=2, só por terem o mesmo conjunto imagem. O outro erro foi considerar que o número de funções não decrescentes é dado pelo complementar das funções decrescentes, o que não é verdade porque existem funções parcialmente decrescentes e parcialmente crescentes que não estão nem no conjunto das decrescentes nem no conjunto das não decrescentes, como f(1)=2 f(2)=3 f(3)=1 f(4)=9.

Quanto a solução oficial, eu realmente não entendi por que \frac{(m+n-1)!}{(n-1)!m!} conta as funções não decrescentes. Tome c_i o número de relações entre o elemento i do contradomínio com os elementos do domínio. Ao contar todas as possibilidades em
c_1+c_2+...+c_n=m eu não estou contando, também, as possibilidades em que, por exemplo, o elemento 1 se liga ao elemento n, e o elemento 2 se liga ao elemento n-1 etc(o que caracteriza uma função decrescente)?
Editado: A contagem feita em \frac{(m+n-1)!}{(n-1)!m!} conta somente quantas possibilidades de relações que cada elemento do contradomínio existem. É quase como contar de quantos modos podemos distribuir as m setinhas do domínio entre os n elementos do contradomínio. Veja, entretanto, que isso não conta, por exemplo, quantas funções existem na distribuição de m/2 setinhas pro elemento 1 do contradomínio e de m/2 setinhas pro elemento 2 do contradomínio, ou seja, não é feita essa contagem excessiva que eu citei antes. De fato, escolhido a forma com que é feita a distribuição das setinhas no contradomínio, existe somente uma forma de colocar as origens dessas setinhas nos elementos do domínio de tal forma que a função seja não decrescente. Por exemplo, nesse  caso em que vão m/2 setinhas pro 1 e m/2 setinhas pro 2 (no contradomínio), só existe uma função não decrescente com esse conjunto imagem: f(1)=1, f(2)=1, f(3)=1,... f(m/2)=1, f(m/2+1)=2, f(m/2+2)=2,...,f(m)=2. Todas as outras funções são do tipo f(1)=2, f(2)=1, f(3)=1, f(4)=2, etc, que não são nem decrescentes nem não-decrescentes. Concluindo, o número de funções não decrescentes é dado por 
\frac{(m+n-1)!}{(n-1)!m!}\cdot 1=\frac{(m+n-1)!}{(n-1)!m!}