Questão de logaritmos

por IgorNeves Sex 17 maio 2019, 23:46

Sejam a, b, c e d números reais positivos e diferentes de 1. Sabendo que log(logaritmando d na base a), log(logaritmando d na base b) e log(logaritmando d na base c) são termos consecutivos de uma progressão aritmética, mostre que c²=(ac)^log(logaritmando b na base a).

por **Leonardo Mariano** Sáb 18 maio 2019, 03:06

Por ser uma PA, o 2° termo menos o 1º termo é igual o 3º termo menos o 2º, depois é só manipulação:

(\log_ad; \log_bd; \log_cd) \rightarrow \log_bd - \log_ad =\log_cd-\log_bd\rightarrow \log_bd + \log_bd=\log_cd + \log_ad \rightarrow 2\log_bd = \log_cd + \log_ad \rightarrow 2\frac{\log_dd}{\log_db} = \frac{\log_dd}{\log_dc} + \frac{\log_dd}{\log_da} \rightarrow \frac{2}{\log_db} = \frac{1}{\log_dc} + \frac{1}{\log_da} \rightarrow 2(\log_dc . \log_da) = \log_db\left [ \log_da + \log_dc\right ] \rightarrow 2(\log_dc . \log_da) = \log_db\left [ \log_d(ac)\right ] \rightarrow 2\left ( \frac{\log_ac}{\log_ad} . \frac{\log_aa}{\log_ad} \right ) = \frac{\log_ab}{\log_ad}.\frac{\log_a(ac)}{\log_ad} \rightarrow \log_ac^2 =\log_ab.\log_a(ac) \rightarrow \log_ac^2=\log_a(ac)^{\log_ab} \rightarrow c^2 = (ac)^{\log_ab}