Produto de 3 números

Prove que o produto de três inteiros consecutivos é divisível por três.

Para que o produto de três números consecutivos seja divisível por três, pelo menos um deles deve ser divisível por 3.
A condição para que um número seja divisível por 3 é que a soma de seus algarismos forme um número que seja múltiplo 3.
Tomando o primeiro número por n, o produto será:
(n).(n+1).(n+2)
Recordemos que os múltiplos inteiros de 3 formam uma Progressão Aritimética de razão 3.
Temos três possibilidades para a posição do número formado pela soma dos algarismos de n nessa PA, e todas elas satisfazem a condição:
- Se n for um número cuja soma dos algarismos forma um múltiplo de três, já satisfazemos a condição.
- Se n for um número cuja soma dos algarismos do seu sucessor forma um múltiplo de 3, n+1 satisfaz a condição.
- Se n for um número cuja soma dos algarismos do seu antecessor forma um múltiplo de 3, n+2 satisfaz a condição.
Logo, o produto de três números inteiros consecutivos sempre será divisível por 3.
Obs.: Vale lembrar que a sequência não é uma PA propriamente dita, pois para números terminados em 9, o próximo número da sequência formará um número cuja soma dos algarismos que o compõem é menor que a soma dos algarismos do seu antecessor (o que contraria a razão 3). Mas a regra continua sendo válida.
Acho que é isso.
Espero ter ajudado. Abraços.

O prof que me propos esta questão disse:

"vc cai em uma equação do 3 grau que só é resolvível pela fórmula de Tartaglia-Cardano" Oo

Já vi uma bem parecida, mas era para demonstrar que o produto de quatro números inteiros sucessivos é um múltiplo de 4 e a demonstração foi só com manipulação algébrica mesmo...

João Gabriel, observe que se desenvolvermos (n).(n+1).(n+2), realmente obteremos uma equação de 3º grau. Mas provar sua colocação por esse método deve ser muito complicado.
Já o método que postei, é mais simples e envolve um pouco de raciocínio, e como o Abelardo disse, "é apenas manipulação de álgebra".
(Acho que meu método também é correto - )

Pegando uma base do que o Heitor Galileu fez, podemos dizer de outra forma que o produto três inteiros consecutivos é divisível por três. Podemos usar uma ideia básica, já que estamos trabalhando com números inteiros, que um número X é divisível por Y quando o resto da divisão for zero.

Bom, lembrando que o resto numa divisão (pelo algoritmo de euclides) deve ser menor que o quociente, então os possíveis resto quando dividimos um número por três são: 0,1,2.

Temos a seguinte multiplicação

1ª possibilidade --> a quando dividido por 3 deixa resto igual a zero (a é da forma a=3q + 0 ), logo é divisível por 3.

2ª possibilidade --> a quando dividido por 3 deixa resto igual a um (a é da forma a=3q + 1 ), o fator a+1 deixará resto 2 quando dividido por 3{a+1 é da forma [(a)+1=(3q+1)+1]}, o fator a+2 deixará resto zero quando dividido por 3{a+2 é da forma [(a)+2=(3q+1)+2]} logo é divisível por 3.

3ª possibilidade --> a quando dividido por 3 deixa resto igual a dois (a é da forma a=3q + 2 ), o fator a+1 deixará resto zero quando dividido por 3{a+1 é da forma [(a)+1=(3q+2)+1]} logo é divisível por 3.

Pra que somar os dígitos?
Pra que eq. de terceiro grau?
Se vc pensa em 3 inteiros consecutivos, um deles é divisível por 3, então o produto também será.
Prontinho!

Concordo com o Quasar. Acho que o professor do João Gabriel passou deu a dica porque provavelmente ele abordará o assunto em breve!