EN - Inequação modular

O Conjunto solução da inequação 3|x-1|+x>|1-x| é:
a) [2/3, +∞[
b) (-∞,2)
c) [2/3,2)
d) vazio
e) (-∞,+∞) (RESPOSTA)

Minha dúvida é a seguinte:
Fiz que |1-x|-3|x-1|>x, em seguida fui analisando os valores para quando x≥1 e para quando x<1 e obtive no final o intervalo [2/3,2[ (LETRA C).
Só fui perceber que a solução seria todos os reais por ter olhado o gabarito e analisado variados valores de x que estão fora do intervalo que eu encontrei. Apenas gostaria de saber uma dedução da letra e) que fuja do mero teste de alternativas.

Primeiro:

3.\left |x-1  \right |= \left | 3.(x-1) \right | = \left | 3x-3 \right |


Então:


\left | 3x-3 \right |+x > \left | 1-x \right |

\left | 3x-3 \right |- \left | 1-x \right |> -x



Estudando o sinal das funções que estão dentro dos módulos:

3x - 3  \geq 0  

x \geq 1

1-x\geq 0
x\leq 1


Então:
I) Quando x = 1, temos:
3x - 3 - (1 - x) > - x

II) Quando  x > 1, temos:
3x - 3 - (-1 + x) > - x

III) Quando x < 1, temos:
-3x + 3 - (1 - x) > - x

S1 = {1}

S2 = {x >1}

S3 = {x < 1}

S1 U S2 U S3 = R

Só não estou compreendendo muito bem o meu erro. Primeiro, trabalhei nos sinais dos 2 módulos de acordo com o valor de x (x≥1, x≤1 e x=1), depois, através da imagem eu obtive o sinal das equações e, ao desenvolvê-las, achei que x<2/3 e x<2, contudo, não consegui enxergar muito bem o infinito como resposta, pelo menos não desse modo que tu fizeste. Como eu sei que vou ter que trabalhar apenas com os valores x≤1, x≥1 ou x=1 , que resultaria no infinito, e não nos valores que eu achei na equação acima citada? Estou com uma certa dificuldade nesse tipo de exercício.

Você errou quando manipulou os termos da inequação, o correto seria:

3|x-1| + x > |1-x|

|1-x| - 3|x-1 | < x

O que você fez:

3|x-1| + x > |1-x|

|1-x| - 3|x-1| > x

*Em vermelho o seu erro.

Depois disso, a resolução é feita partindo da definição de módulo, quando o número que está dentro de um módulo é maior ou igual a zero vamos retirar o módulo e quando o número dentro do módulo for menor do que zero vamos retirar o módulo e inverter seu sinal.

Desatenção minha, grato pela paciência. Agora compreendi o exercício.

Resolução mais detalhada:


3.\left | x - 1  \right |+ x > \left | 1 - x \right |

\left |3.(x - 1)  \right | + x > \left | 1 - x \right |

\left | 3x - 3  \right | + x  > \left | 1 - x \right |

\left | 3x - 3 \right | - \left | 1 - x \right | > - x



Definição de módulo:
\left | a \right | = a se a\geq 0
\left | a \right | = -a se a < 0

Então:

\left | 3x - 3 \right | = 3x - 3 se x\geq 1
\left | 3x - 3 \right | = -3x + 3 se x < 1


\left | 1 - x \right | = 1 - x se x \leq 1
\left | 1 - x \right | = -1 + x se x > 1

Então temos 2 situações:

I) 3x - 3 - (-1 + x ) > - x e x deve ser maior ou igual a 1 (lembrando que "e" aqui quer dizer intersecção)

II) -3x + 3 - (1 - x) > -x e x deve ser menor do que 1 (lembrando que "e" aqui quer dizer intersecção)

A solução é a união de I e II, tente resolver.