Questão de Limite - Dúvida cruel

Seguinte pessoal, eu havia resolvido a seguinte questão que o professor também resolveu em sala de aula:

lim x^2 + ax + b - x (OBS.: HÁ UMA RAIZ QUE COBRE ATÉ O "b", ou seja, o último termo que é o "x" fica fora da raiz) com x tendendo a MAIS infinito. Eu fiz a questão normal e o professor fez e a resposta deu a/2, até aí tudo bem, mas aí eu já havia feito várias questões parecidas e perguntei a ele: "E se fosse tendendo a menos infinito?", Ele respondeu: "A resposta seria -a/2 por causa do módulo". Gente eu não concordo com o que ele disse, pela teoria se fosse tendendo a menos infinito seria a resposta MAIS infinito sem precisar fazer cálculo nem nada, pois na minha opinião não carece de significado como é o que ocorre quando tende a mais infinito, tirei essa minha conclusão também em analogia a seguinte questão que tem no Mat. Elementar:

lim x^2 + 3x + 4 - x (RAIZ COBRINDO ATÉ O "4") com x tendendo a mais infinito, o mat. elementar dá como resposta 3/2, e quando tende a MENOS infinito ele dá como resposta MAIS infinito.

E aí o que acham? Estou certo ou o professor que está certo?

Olá Marcos,

é claro que você está certo. Mostre este gráfico ao seu professor:

valeu Euclides, ah e parabéns pelo fórum!

olá Marcos. O Euclides já matou o assunto mas eu gostaria de comentar também. Entendo que seu professor se enganou e você está certo. Assim como você, acho que resolver algebricamente para x tendendo a menos infinito é dar murro em ponta de faca desnecessariamente, é muito trabalho para uma conclusão óbvia. A não ser o L’Hopital, que fiz questão de usar para trabalhar com esse tipo de indefinição (oo – oo), fiz o que acho mais fácil.

lim [√(x²+3x+4) – x)] = lim [ f₁(x) + f₂(x) ]
onde
f₁(x) = √(x²+3x+4)
f₂(x) = -x

Estudo de f₁(x)
(x²+3x+4) não tem raízes reais, tem concavidade para cima e seu vértice está em x=-3/2, portanto é sempre positiva.
√(x²+3x+4) = (x²+3x+4)^1/2. A única influência do radical (ou expoente de 1/2) é abrir a f₁(x) tornando sua subida mais suave. Então:
a) quando x->menos infinito, f₁(x) -> mais infinito;
b) quando x->mais infinito, f₁(x) -> mais infinito.

Estudo de f₂(x)
f₂(x) = -x é a bissetriz do 2º e 4º quadrantes. Portanto:
a) quando x->menos infinito, f₂(x) -> mais infinito;
b) quando x->mais infinito, f₂(x) -> menos infinito.


1º CASO: limite com x->+∞

Este caso é óbvio. Tanto f₁(x) como f₂(x) têm limite. Portanto, o limite da soma dessas funções será a soma dos limites.

lim [√(x²+3x+4) – x)] = lim √(x²+3x+4) + lim (-x) = +∞ + (+∞) = +∞

Note que não existe qualquer indefinição nesta soma.


2º CASO: limite com x-> - ∞

Neste caso, apesar de existirem os limites individuais, cada função tende para um extremo e a soma é indeterminada (∞ - ∞).



traços em vermelho indicam o "cancelamento"; setas em azul indicam resultado da passagem ao limite.

Isso mesmo Medeiros, excelente abordagem, eu havia resolvido várias questões e me lembrei de questões análogas, que você tem que analisar do jeito que vc fez aí, colocando como se fosse 2 funções e ver se carece de significado (indefinição) ou não, mto bom discutir esses detalhes porque as vezes uma coisa de nada derruba o cara, valeu mesmo Euclides e Medeiros!

Olá Medeiros,

como sempre o seu trabalho é didático e impecável. É o concurso dessa competência e dedicação que vai fazendo com que este fórum (ainda pequeno e humilde), seja em minha opinião o melhor do gênero na internet em língua portuguesa.

ae Euclides, você é o mesmo do fórum brasil escola que me ajudava com as questões de física né? hehe se for valeu novamente, porque me ajudou bastante a passar em 2 faculdades públicas cara, estou cursando ciência da computação, valeu mesmo e o fórum está excelente, parabéns!

Olá Marcos,

claro que me lembro de você. Só me faltava esse retôrno: duas faculdades públicas!! Parabéns mesmo, lembro-me da sua dedicação e vontade de aprender.

Espero que possamos contar com você para responder questões também e ajudar a quem precisa.

euclides (o de sempre)

hehe, bacana cara, com certeza =)

olá...
Peço desculpas aos participantes mas substituí a figura do meu post anterior para corrigir um pequeno erro de desatenção, que em nada alterava a solução mas a deixava imperfeita.
saudações.