Livro Geometria II do Morgado

por duarterj Ter 12 Fev 2019, 14:34

Gostaria que me ajudassem a resolver a questão 187 e 188 do capítulo 5.

187) São dados dois círculos concêntricos. De um ponto P variável do círculo exterior traçam-se PA e PB, sendo A e B extremos de um diâmetro do círculo interior. Mostre que PA² + PB² é constante.

Duarte, pelas regras do fórum, você só pode postar uma questão por tópico. Sendo assim, apagarei a questão de número 188. Se você quiser criar um novo tópico para a questão 188, sem problemas.

Por favor, leia as regras do fórum.

Regras: https://pir2.forumeiros.com/Regulamentos-h26.htm

Giovana Martins.

por **Elcioschin** Ter 12 Fev 2019, 16:10

Vou começar e deixo para você terminar.

São 3 situações diferentes para o ponto P:

por duarterj Ter 12 Fev 2019, 20:24

Na terceira situação, utilizando a relação de Stewart, encontrei a mesma relação da primeira: PA² + PB² = 2R² + 2r².

por **Elcioschin** Ter 12 Fev 2019, 21:32

Então mostre o passo-a-passo da sua solução, para que outros usuários aprendam com você.

por duarterj Ter 12 Fev 2019, 21:54

No triângulo PAB, usando a relação de Stewart, temos:

PB².AO + PA².BO = PO².AB + AO.BO.AB (I)

Como AO = BO = r e PO = R, então, substituindo em (I):

PB².r + PA².r = R².2r + r.r.2r x(1/r)

PA² + PB² = 2R² + 2r²

Muito obrigado Grande Mestre!!!

por **Medeiros** Qua 13 Fev 2019, 01:41

Então, pelo que entendi das resolucoes acima, contrariamente ao enunciado, foi provado que aquela expressão NÃO é constante.

por **paulinoStarkiller** Qua 13 Fev 2019, 02:21

Acho que é constante sim. No segundo caso:

PA^{2} + PB^{2} = (R + r)^{2} + (R - r)^{2} = R^{2} + 2Rr + r^{2} + R^{2} -2Rr + r^{2} \rightarrow PA^{2} + PB^{2} = 2R^{2} + 2r^{2}