(Simulado - IME) Valor mínimo

por **Giovana Martins** Seg 28 Jan 2019, 14:39

Determine o valor mínimo da expressão |sen(x)+cos(x)+tg(x)+cot(x)+sec(x)+csc(x)| ∀ x ∈ ℝ.

Spoiler:

por **Giovana Martins** Ter 29 Jan 2019, 00:24

Uma tentativa...

\\U=|sen(x)+cos(x)+tg(x)+cot(x)+sec(x)+csc(x)|\\\\sen(x)=y\ \wedge\ cos(x)=w\ \therefore \ y^2+w^2=1\ \\\\\therefore \ (\underset{f(x)}{\underbrace{y+w}})^2=y^2+w^2+2yw\to yw=\frac{1}{2}\left [(y+w)^2-1 \right ]=\frac{1}{2}\left \{ [f(x)]^2-1 \right \}\\\\\therefore \ y+w=sen(x)+cos(x)\to y+w=f(x)=\sqrt{2}sen\left ( \frac{\pi }{4}+x \right )\\\\\ U=\left | y+w+\frac{y}{w}+\frac{w}{y}+\frac{1}{w}+\frac{1}{y} \right |=\left | \frac{y^3w^2+y^2w^3+y^3w+yw^3+y^2w+yw^2}{y^2w^2} \right |\\\\U=\left | \frac{y^2w^2(y+w)+yw(y^2+w^2)+yw(y+w)}{y^2w^2} \right |=\left | \frac{ywf(x)+1+f(x)}{yw} \right |\\\\U=\left | \frac{2}{[f(x)]^2-1}\left [ \frac{1}{2}[f(x)]^3-\frac{1}{2}f(x)+1+f(x) \right ] \right |=\left | \frac{2}{[f(x)]^2-1}\left [ \frac{1}{2}[f(x)]^3+\frac{1}{2}f(x)+1 \right ] \right |

por **Giovana Martins** Ter 29 Jan 2019, 15:22

\\U=|sen(x)+cos(x)+tg(x)+cot(x)+sec(x)+csc(x)|\\\\sen(x)=y\ \wedge\ cos(x)=w\ \therefore \ y^2+w^2=1\ \\\\\therefore \ (\underset{f(x)}{\underbrace{y+w}})^2=y^2+w^2+2yw\to 2yw=(y+w)^2-1 =f^2(x)-1 \\\\\therefore \ y+w=sen(x)+cos(x)\to y+w=f(x)=\sqrt{2}sen\left ( \frac{\pi }{4}+x \right )\\\\\ U=\left | y+w+\frac{y}{w}+\frac{w}{y}+\frac{1}{w}+\frac{1}{y} \right |=\left | \frac{y^3w^2+y^2w^3+y^3w+yw^3+y^2w+yw^2}{y^2w^2} \right |\\\\U=\left | \frac{y^2w^2(y+w)+yw(y^2+w^2)+yw(y+w)}{y^2w^2} \right |=\left | \frac{ywf(x)+1+f(x)}{yw} \right |\\\\U=\left | \frac{2ywf(x)+2+2f(x)}{2yw} \right |\to U=\left | \frac{f(x)[f^2(x)-1]+2[f(x)+1]}{f^2(x)-1} \right |=\left | f(x)-1+\frac{2}{f(x)-1}+1 \right |\\\\M_A\geq M_G\to-\left [\underset{g(x)}{\underbrace{ 1-f(x)+\frac{2}{1-f(x)}}} \right ]\leq -2\sqrt{2}\ \therefore \ \boxed {U_{min}=2\sqrt{2}-1}

por isso_ai_po Ter 29 Jan 2019, 16:39

oi.

voce fez os termos da Ma como f(x)-1 e 2*(inverso disso ai), mas os termos devem ser positivos. f(x)-1 pode ser negativo.

acho que é isso.

por **Vitor Ahcor** Ter 29 Jan 2019, 17:17

Olá!

Acho que foi porque você considerou que o mínimo de |f(x) + 2/[f(x)-1]| é igual ao de |f(x)-1+2/[f(x)-1]| + 1, o que não é verdade.
Mas se você voltar lá na última expressão de U, depois de todo o algebrismo já feito, deixar em função de sinx e cosx dnv, derivar e igualar a 0 vai concluir que:

Ou senx=cosx
Ou sinx+cosx=1±√2

O mínimo será quando sinx+cosx = 1-√2. E de fato, valerá 2√2-1.

por **Giovana Martins** Ter 29 Jan 2019, 21:33

Obrigada a ambos.

Ajustei a resposta.

Vitor, na verdade, mesmo se tratando do IME, a ideia mesmo era pensar na questão sem usar cálculo, por isso optei pela desigualdade das médias.