Questão de teoria dos números

por biabirdd Sex 19 Out 2018, 11:44

Questão:

Seja n um número inteiro positivo composto e p seu menor fator primo. Sabe-se que:
1. p ≥ √n
2. p-4 divide 6n+7 e 3n+2

Determine todos os possíveis valores de n.

R: p=3 ou p=5 e n=p²

Alguém poderia me ajudar com esse exercício?
Desde já, agradeço!

por **Elcioschin** Sex 19 Out 2018, 12:08

Sendo r, s inteiros positivos:

(6.n + 7)/(p - 4) = r ---> 6.n + 7 = r.p - 4.r ---> I

(3.n + 2)/(p - 4) = s ---> 3.n + 2 = s.p - 4.s ---> *2 ---> 6.n + 4 = 2.s.p - 8.s ---> II

I - II ---> 3 = r.p - 4.r - (2.s.p - 8.s ) ---> (r - 2.s).p - 4.(r - 2.s) = 3 ---> (r - 2.s).(p - 4) = 3

Os únicos fatores primos de 3 são 1, 3 ---> Só temos então. duas possibilidades

1) r - 2.s = 1 e p - 4 = 3 ---> p = 7
2) r - 2.s = 3 e p - 4 = 1 ---> p = 5

Tente completar

por biabirdd Sex 19 Out 2018, 14:44

Professor, por que não posso considerar os fatores negativos -1 e -3?

por **fantecele** Sex 19 Out 2018, 15:24

Uma outra forma:

p-4|6n + 7 (I)
p-4|3n+2 (II)
p-4|(6n+7)-2.(3n+2) = 3
p-4 = 1 ou p-4 = 3 ou p-4 = -1 ou p-4 = -3
p = 5 ou p = 7 ou p = 3 ou ou = 1
p é primo então p pode ser igual a 3, 5 ou 7.
Se p ≥ √n e p é um fator primo de n então p = √n, ou seja, n = p², usando esse resultado e usando (I) e (II) temos que p pode assumir os valores 3 ou 5.