geometria plana

por dibasi Qua 10 Out 2018, 16:08

(UFPE) Dois quadrados concêntricos de perímetro P, cada, são interceptados de modo que os pontos de interseção de seus
lados sejam os vértices de um octógono regular. Assinale a alternativa que corresponde ao lado desse octógono.
gabarito: (UFPE) Dois quadrados concêntricos de perímetro P, cada, são interceptados de modo que os pontos de interseção de seus
lados sejam os vértices de um octógono regular. Assinale a alternativa que corresponde ao lado desse octógono.
gabarito: P( raiz de 2 - 1)/4

por **Elcioschin** Qua 10 Out 2018, 16:40

Desenhe um dos quadrados e seja O o seu centro.
O outro quadrado é igual ao 1º, girado de um ângulo de 90º, em relação ao centro O

Desenhe a figura e note que , externamente existem 8 triângulos retângulos isósceles. Seja x cada cateto e y a hipotenusa (y é o lado do octógono)

y² = x² + x² ---> y² = 2.x² ---> y = √2.x

Lado de cada quadrado = L ---> L = 2.x + y ---> P/4 = 2.x + √2.x ---> 8.x + 4.√2.x = P --->

x.(8 + 4.√2) = P ---> x = P/(8 + 4√2) ---> x = P.(8 - 4.√2)/(8 + 4.√2).(8 - 4.√2) ---> x = (2 - √2)/8

y = x.√2 ---> y = [(2 + √2)/8].√2 ---> y = (√2 - 1)/4

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