(UEFS)Função do 2º grau

A função f(x)=x²-bx+3, b>0, é tal que a diferença entre suas raízes é 2. A reta que é o eixo de simetria do gráfico da função tem para equação:
01) x=-1.
02) x=-2.
03) x=0.
04) x=1.
05) x=2.

Alguém poderia me auxiliar nessa questão?

A reta de simetria de uma equação será no ponto x do vértice, pois é nele onda há a divisão simétrica dos lados de uma função.

Xv = -b/2a

Sabemos que x' - x" = 2 --> x' = 2+x" (I)

Soma das raízes = -b/a = x'+x" -- > x'+x" = -b(II)
Produto das raízes = c/a = x'.x" --> x'.x" = 3 (III)

I e III --> (2+x")x" = 3 --> x"² + 2x" -3 = 0;

Por Bhaskara: Uma solução será o 1 e outra será o -3.

Usando esses resultados, substituiremos na equação I:

1) x' = 2+x" --> x' = 3
2) x' = 2 + x" --> x' = -1

Agora repare que o exercício disse que b é maior que 0, ou seja positivo e o b só será positivo quando usamos os valores x" =-3 e x' =-1:

 x'+x" = -b --> -1 - 3 = -b --> b = 4

Substituindo na equação: f(x)=x²-bx+3 --> f(x)=x²-4x+3

Voltando para o Xv:

Xv = -b/2a --> Xv = -(-4)/2 --> Xv = 2

Para fins didáticos, aqui está uma imagem mostrando o Xv:

Pode-se notar que ele é o eixo de simetria.

Qualquer dúvida ou erro meu, é só falar!

VesTeles, se b=4, por que na equação do Xv ele está como -4?

Porque existem dois valores possíveis para b: b = ±­ 4
Entretanto o enunciado garante que b > 0, logo b = 4

Eis uma solução alternativa, que mostra isto, sendo r, s as raízes:

r - s = 2 ---> I
r + s = -b/a ---> r + s = - (-b)/1 ---> r + s = b ---> II
r.s = c/a ---> r.s = 3/1 ---> r.s = 3 ---> III

I + II ---> 2.r = b + 2 ---> r = b/2 + 1 ---> IV

IV em I ---> r - s = 2 ---> (b/2 + 1) - s = 2 ---> s = b/2 - 1 ---> V

IV e V em III ---> r.s = 3 ---> (b/2 + 1).(b/2 - 1) = 3 ---> b²/4 - 1 = 3 ---> b² = 16 ---> b = ±­ 4

Pelo enunciado b > 0, logo b = 4 ---> f(x) = x² - 4.x + 3

xV = - b/2.a ---> xV = - (- 4)/2.1 ---> xV = 2

Elcio, o meu xV também deu -2! No entanto, a resposta da questão é x=2. Será que o gabarito está incorreto?

Realmente, o exercício parece estranho, mas, ao resolver por outro modo (usando a forma fatorada), obtive o mesmo resultado: x = 2

Segue meus cálculos:

x' - x" = 2 --> x' = 2+x" (I)
x'+x" = -b/a --> x'+x" = -(-b) -->x'+x" = b (II)

x'.x" = 3  (III)

I em III:

x"² + 2x" -3 = 0; x" = 3 ou x" = -1


Usando o resultado em III:

Quando x" = 3 --> x' = 1;
Quando x" = -1  ---> x' = -3


Voltamos para a equação II:


x'+x" = b --> x'+x" > 0 

Fazendo os cálculos, encontrará que x' e x" devem ser 1 e 3.


Usando a forma fatorada da equação do 2 grau:
f(x) = a(x-x')(x-x") --> f(x)= (x-1)(x-2) --> f(x) = x² -4x +4

Xv = -b/2a --> Xv = -(-4)/2 --> Xv = 2

dani_medrado e VesTeles

Vocês estão certos. A solução correta é xV = 2
Eu tinha esquecido de digitar um sinal - na última linha. Já editei minha solução.

VesTeles, não consegui entender como x'+x" = -b/a ficou x'+x" = -(-b). Por que encontramos 2 sinais negativos no b, já que ele é maior que zero?

Eu coloquei x'+x" = -(-b) porque na equação o b é acompanhado do sinal de menos:
 f(x)=x² + (-bx)+3