(Mackenzie)

I - Se 0 < x < pi/2, então os pontos
(sen x, -cos x), (-sen x, cos x) e (-1, cos x) sempre
são vértices de um triângulo.
II - Se a e b são números reais tais que a > b > 0,
então as retas x - ay + a^2 = 0 e x + by + b^2 = 0 nunca
são paralelas.
III - A reta x + y - 5raiz2 = 0 é tangente à curva
x^2 + y^2 - 25 = 0.


a minha duvida e em relaçao a primeira mas primeiramente sobre as soutras duas eu resolvie assim
ajeitando as retas terei
y= x/a+a logo coeficiente angula é 1/a
y= -x/b -b logo coeficiente angular é -1/b
para serem paralelas tem que ser iguais
logo= 1/a=-1/b
b=-a ou
a= -b
como a>b
teria que -b>b o que e impossivel pois b e positivo

a terceira primeiramente ajeitando a equaçao da circuferencia fica (x-0)^2+ (y-0)^2 = 5^2=r^2
logo centro = (0,0) e raio= 5 e so usar a formula que a distancia é
5=|-5raiz de 2/raiz de 2|=5=|-5| portanto a circuferencia cotem esse ponto mas isso se fosse uma circuferencia toda não ??


esse meu raciocionio nessas duas esta certo?????


e a que eu fiquei mais duvida é tenho 3 ponto num triangulo eu sei que para existir o lado maior nao deve ultrapassar a soma dos outros dois
achei duas distancia uma valendo 2 logo um lado e sempre dois idenpendente de x o outro vai ta no intervalo de [0,2] ja o terceiro que complicou pois ficou uma raiz de uma inequaçao do segundo grau do seno .... grato pela ajuda ..

I) x está no 1º quadrante ---> senx > 0 e cosx > 0

Para facilitar a explicação e o desenho, vamos fazer x = 30º

A(sen30º, -cos30º) = A(1/2, -√3/2) ---> 4º quadrante do sistema xOy
B(-sen30º, cos30º) = B(-1/2, √3/2) ---> 2º quadrante do sistema xOy
C(-1, cos30º) = C(-1, √3/2)

Desenhe os três pontos e note que B e C tem a mesma ordenada
Para não formar triângulo os pontos B e C devem coincidir:

Ponto B: - senx = -1 ---> senx = 1 ---> x = pi/2  ---> não pode, pois, pelo enunciado senx < 1

Logo, I é verdadeira

ainda nao conseguie compreender mas
na primeira vez eu cauculei a distancia
d1 para (sen x, -cos x), (-sen x, cos x) = raiz de 4 senx ^2+ 4 consx^2
portanto d1 sempre é = 2
para d2 usei (-sen x, cos x) e (-1, cos x) = raiz de (senx-1)^2 logo
d2= senx -1 e portanto
 -2<=d2<=0

ja na terceira complicou ... além disso em relaçao as duas iniciais ta certo o meu pensamento?

Não tem que calcular distância nenhuma. Basta desenhar os 3 pontos. Você fez isto? Se não fez, não vai entender minha solução.
Você disse que só tinha dúvida na I. Não li a II e III