Função Exponencial - Calcular valores reais.

Bom dia, estou me preparando para prestar concurso pra EsPCEx e estou estudando função pelos Elementares do Iezzi. Seguinte, ontem a noite estudando me deparei com esta questão no livro, que possui solução, mas nao consegui compreender a solução dele. A questão é:

Para que os valores reais de m a equação 4^x - (m-2) * 2^x + 2m + 1 = 0 admita pelo menos uma raiz real? (a^b = a elevado a b)

Olá brendux,

Agradecemos por sua participação, seria interessante se você postasse a solução apresentada pelo livro, assim poderíamos discutir a questão.

Obrigado.

Jose Carlos escreveu:Olá brendux,

Agradecemos por sua participação, seria interessante se você postasse a solução apresentada pelo livro, assim poderíamos discutir a questão.

Obrigado.

Solução do livro:

Pondo 2^x = y, temos:
y^2 - (m-2)y + (m+1)=0

até então beleza.

a) as duas raízes são positivas:

y1 >= y2 > 0

Delta >= 0, S/2 > 0 e a*f(0) > 0

I) Delta >= 0 // Delta = m^2 - 12m >= 0 // m =< 0 ou m>=12

II) S/2 > 0 // S/2 = (m-2)/2 > 0 // m > 2

III) a*f(0) > 0 // a*f(0) = 2m +1 > 0 // m> -1/2

I intersecção II intersecção III

S1 = { m € R | m >= 12 }

b) somente uma raiz é positiva:

y1 > 0 >= y2

y1 > 0 > y2 // a*f(0) = 2m +1<0 // m < -1/2 // S2 = { m € R | m < -12 }

y1 > 0 e y2 = 0 // S = m -2 > 0 e f(0) = 2m + 1 = 0 // m > 2 e m = -1/2 // S3 = VAZIO

Resposta: S = S1 U S2 U S3 = { m € R | m < -1/2 ou m >= 12 }.

Alguém me ajuda por favor?

Olá brendux,

Antes de tudo é preciso estabelecer uma coisa:

A equação que consta no seu enunciado é diferente da equação utilizada na solução do livro ->

enunciado -> 4^x - (m-2) * 2^x + 2m + 1 = 0

solução do livro -> 4^x - (m-2) * 2^x + m + 1 = 0

qual a correta?

Supondo que seja a utilizada na solução temos:

Pondo 2^x = y, temos:

y^2 - (m-2)y + (m+1)=0

até então beleza.

*se as raízes devem ser reais então elas podem ser: ambas positivas, ambas negativas, uma positiva e uma negativa

1) as duas raízes são positivas:

*sejam as raízes y1 e y2

y1 >= y2 > 0

critérios para que as duas raízes sejam positivas

Delta >= 0 -> delta = m² - 12m -> m² - 12m >= 0 -> raízes: m = 0 ou m = 12 -> terá valores positivos para m < 0 ou m > 12

II)S/2 > 0

S = m - 2 -> S > 0 (lembrar que as duas raízes são positivas )

m > 2


III) a*f(0) > 0 ( produto das raízes positivo )

a*f(0) = 2m +1 > 0

m> -1/2

I intersecção II intersecção III

S1 = { m € R | m >= 12 }

....................0...........................................12
***********o-------------------------------o************
......................................2***************************
---------------------------o----------------------------------
.......... -1/2
------ ---o****************************************



b) somente uma raiz é positiva:

y1 > 0 >= y2

y1 > 0 > y2

a*f(0) = 2m +1< 0

m < -1/2

S2 = { m € R | m < -1/2 }

y1 > 0 e y2 = 0

S = m -2 > 0 e f(0) = 2m + 1 = 0

m > 2 e m = -1/2

S3 = VAZIO

Resposta: S = S1 U S2 U S3 = { m € R | m < -1/2 ou m >= 12 }.

( aqui acho que deveria ser :S = S1 inter S2 inter S3 = { m € R | m < -1/2 ou m >= 12 }.

Qualquer dúvida é só escrever que a gente acaba chegando lá.

Abraço.

tbm tinha duvida dessa resolução,deu pra intender bem agoraa..

oq tinha me atrapalhado intender era

a*f(0) que vc disse ser o produto das raizes..

e S/2 que é a soma..

n intendi ainda porq disso..mas intendi a resolução..

outra coisaa,porq a soma das raizes ser positiva é criterio para as duas serem positivas ? n tem como uma ser positiva outra negativa e ainda assim ser maior que zero ?

desculpem reviver o topico..

Outra solução

4^x - (m - 2)*2^x + 2m + 1 = 0 ----> (2²)^x - (m - 2)*2^x + (2m + 1) = 0 ----> (2x)² - (2 - m)*2^x + (2m + 1) = 0

Temos uma equação do 2º grau na variável 2^x
Para se ter duas raízes reais o discriminante ∆ deverá ser positivo ou nulo

∆ = b² - 4ac ----> ∆ = (m - 2)² - 4*1*(2m + 1) ----> ∆ = m² - 12m

∆ é uma função do 2º grau ----> parábola com a concavidade voltada para cima ----> Raízes m = 0 e m = 12

∆ é positiva extra raízes -----> m =< 0 e m >= 12

Raízes da equação: 2^x = [(m - 2) ± \/(m² - 12m)]/2

(m - 2) - \/(m² - 12m) =< 0 ---> m - 2 =< \/(m² - 12m) ----> m² - 4m + 4 =< m² - 12m ----> m =< - 1/2

Solução: m =< -1/2 ou m >= 12

bem mais facil de intendeer essa,muito obrigado.