GA - circunferência e reta

por rodrigomr Qui 09 Jun 2011, 16:22

Cumprindo outra promessa de campanha, a prefeita Maria decidiu construir na praça (figura abaixo) um banheiro público. O esgoto desse banheiro deve partir do centro C da circunferência x²-16x+y²+14y+109=0 e ser ligado a um ponto P no cano representado pela reta que passa pelos pontos A=(2,6) e B=(-4,-6). Determine o ponto P, de modo que a distância entre C e o cano AB seja mínima.

GA - circunferência e reta Hwzkbc

gabarito: postá-lo-ei logo mais.

por **Euclides** Qui 09 Jun 2011, 17:10

A equação da circunferência:

$\dpi{120} \\x^2-16x+y^2+14y+109=(x-8)^2+(y+7)^2-4\\\\(x-8)^2+(y+7)^2=4\to\begin{cases}C(8,\,-7)\\r=2 \end{cases}$

A reta que passa pelos pontos dados:

$\dpi{120} \\y=ax+b\begin{cases}6=2a+b\\-6=-4a+b\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a=2\\b=2 \end{cases}\Rightarrow y=2x+2$

Reta perpendicular á reta que contém P:

$\dpi{120} y=-\frac{x}{2}+b$

passando por C(8,-7)

$\dpi{120} \\-7=-\frac{8}{2}+b\;\;\to\;\;b=-3\\\\y=-\frac{x}{2}-3$

intersecção das retas (ponto P):

$\dpi{120} \\\begin{cases}y=-\frac{x}{2}-3 \\y=2x+2\end{cases}\;\;\Rightarrow \;\;x=-2,\;\;y=-2\;\;\;P(-2,\,-2)$