Equação da reta normal à reta tangente

Seja C a curva definida por o(t) = ( 2cos(t),1+2sen(t)). Determine uma equação da reta normal à curva no ponto ( \/3, 2).

Reposta: -x+\/3y = \/3.;

Bom, nessa questão eu calculei a derivada, verifiquei que t = pi/6 satisfaz o ponto da curva, sendo assim calculei as equações paramétricas de x(t) e y(t), depois transformei para equações cartesianas para tentar encontrar a reta normal, mas não deu certo.

Consegui, pessoal! Estava fazendo besteira. Considerando que  t = pi/6 ( basta igualar as coordenadas do vetor o(t) ao ponto dado), substitua no vetor o'(t) o valor do ponto t = pi/6, partindo disso encontrei o vetor direção da reta tangente , que são ( -1, \/3). Bom, agora para encontrar o vetor direção normal a esse vetor, basta fazer (\/3,1).

Mas porque (\/3,1)? Bom, lá do calculo vetorial sabemos que um vetor é perpendicular a outro se o produto escalar deles for igual a zero, portanto quando temos um vetor (x,y) e queremos determinar o vetor perpendicular a ele, basta fazer (-y,x), pois quando multiplicados o produto escalar deles é 0, logo são perpendiculares.

Feito isso, escrevi as equações paramétricas  de cada uma das coordenas e achei os seguintes valores:

x = \/3 +\/3t
y = 2 +t

Na primeira equação isolei t e depois substitui da segunda e encontrei o valor do gabarito. Qualquer dúvida se alguém tiver, só perguntar.

Obrigada pela explicação, ajudou bastante. Só não entendi a parte de fazer (-y,x). Não teria ficado (-V3, 1)? Por que você continuou a questão com (V3, 1)?