UFPE-83 - Função

por Caio Fernandes Sáb Fev 24 2018, 14:52

(UFPE) Sejam f e g funções de ℕ em ℕ definidas por: $f(n) = \sum_{i = 1}^{n= 364} i$ e $g(n) = \frac{n(n+1)}{2}$

Assinale a alternativa falsa:
a) a função f é igual à função g

b) f é injetiva

c) $4f(n) g(n) = n^{4} + 2n^{3} + n^{2}$

d) f(n) + g(n) = n(n+1)

e) g é sobrejetiva

Gabarito: letra "e"

por felipeomestre123 Qua Out 20 2021, 15:44

Como é a função f? Nunca usei somatório... Alguém poderia me ajudar?

Eu pensei que f fosse: 1+2+3+4+...+364 (mas, isso seria uma função constante. Não é?)

Se alguém puder me ajudar, agradeço!

[edit] Se f for constante, como que 4f(n)g(n) pode resultar em um polinômio do quarto grau? Sendo que, se f(n)=K, 4K(n(n+1)/2) só pode resultar em um polinômio do segundo grau.

Devo estar confundindo muita coisa, se puderem me ajudar...

por **Rory Gilmore** Qua Out 20 2021, 16:12

Sim, f é a soma de todos os naturas de 1 até 364, logo f é uma função constante.

O item C está errado, como você mesmo falou aquele produto tem grau 2.

por **SilverBladeII** Qua Out 20 2021, 20:37

eu acho que houve erro de escrita, a função f é o somatorio de 1 até n.
portanto f é igual a g.

b) se f(n)=f(m), então
n²+n=m²+m -> (n-m)(n+m)=m-n. se m é diferente de n, então
n+m=-1. absurdo, pois m e n são naturais.
portanto n=m e a função é injetiva.

c) é verdadeira

d) verdadeira

e) basta ver que g é crescente nos naturais, então qualquer n > 2 temos g(n) > g(2) = 3, além disso g(1)=1, portanto não existe x natural tal que g(x)=2, ent g não é sorejetora.