(ITA-SP) Binômio de Newton
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(ITA-SP) Binômio de Newton
por Victor Luz Sáb 17 Fev 2018 - 23:05
Considere o conjunto S = {(a,b) ∈ ℕ x ℕ: a+b=18}. A soma de todos os números da forma 18!/a!b! , para qualquer que seja (a,b) ∈ S, é:
a) 8^6
b) 9!
c) 9^6
d) 12^6
e) 12!
a) 8^6
b) 9!
c) 9^6
d) 12^6
e) 12!
- resposta:
- A
Victor Luz- Mestre Jedi
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Willian Honorio- Matador
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Re: (ITA-SP) Binômio de Newton
por oferadagaita Dom 18 Fev 2018 - 7:28
Willian Honorio, isso poderia ser aplicado também a 3 variáveis? O problema que estou tentando resolver é o seguinte:Willian Honorio escreveu:
oferadagaita- Iniciante
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Re: (ITA-SP) Binômio de Newton
por Willian Honorio Dom 18 Fev 2018 - 11:38
Olha, eu não sei. Acredito que pode ser resolvido por expansão multinomial, este método também resolve o problema anterior.
^{n}=\sum&space;\frac{n!}{\alpha&space;_{1}!\alpha&space;_{2}!\cdot&space;...\cdot&space;\alpha&space;_{p}!}.x_{1}^{\alpha&space;_{1}}.x_{2}^{\alpha&space;_{2}}\cdot&space;...\cdot&space;x_{p}^{\alpha&space;_{p}}\\\\\alpha&space;_{1}+\alpha&space;_{2}+...+\alpha&space;_{p}=n "(x_{1}+x_{2}+...+x_{p})^{n}=\sum \frac{n!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdot ...\cdot \alpha _{p}!}.x_{1}^{\alpha _{1}}.x_{2}^{\alpha _{2}}\cdot ...\cdot x_{p}^{\alpha _{p}}\\\\\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{p}=n")
Devemos ter algo do tipo:
^{n}=\sum&space;\frac{n!}{a!b!c!}.x_{1}^{a}.x_{2}^{b}.x_{3}^{c}\\\\a+b+c=20\\\\(1+1+1)^{20}=\sum&space;\frac{20!}{a!b!c!}\,\,\,|a+b+c=20\\\\\sum&space;\frac{20!}{a!b!c!}=3^{20} "(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{n}=\sum \frac{n!}{a!b!c!}.x_{1}^{a}.x_{2}^{b}.x_{3}^{c}\\\\a+b+c=20\\\\(1+1+1)^{20}=\sum \frac{20!}{a!b!c!}\,\,\,|a+b+c=20\\\\\sum \frac{20!}{a!b!c!}=3^{20}")
Por linhas gerais:
&space;\in&space;\,\,\mathbb{R}^{p}\,\,|\,\,a_{1}+a_{2}+...+a_{p}=n\right&space;\}\\\\\boxed{\sum&space;\frac{n!}{a_{1}!a_{2}!\cdot&space;...\cdot&space;a_{p}!}=(\underbrace{1+1+...+1}_{p\,\,vezes})^{n}=p^{n}\,\,\Leftrightarrow&space;a_{1}+a_{2}+...+a_{p}=n} "S=\left \{ (a_{1},a_{2},...,a_{p}) \in \,\,\mathbb{R}^{p}\,\,|\,\,a_{1}+a_{2}+...+a_{p}=n\right \}\\\\\boxed{\sum \frac{n!}{a_{1}!a_{2}!\cdot ...\cdot a_{p}!}=(\underbrace{1+1+...+1}_{p\,\,vezes})^{n}=p^{n}\,\,\Leftrightarrow a_{1}+a_{2}+...+a_{p}=n}")
Tente verificar esta última por P.I.F (Princípio da Indução Finita).
Devemos ter algo do tipo:
Por linhas gerais:
Tente verificar esta última por P.I.F (Princípio da Indução Finita).
Willian Honorio- Matador
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