Taxa de juros simples 2

Relembrando a primeira mensagem :



Numa aplicação bancária é esperado um montante de $ 100.000,00 ao final de oito depósitos no valor de $ 11.467,89 mensais consecutivos antecipados com sistema de capitalização de juros simples. Qual a taxa de juros paga pelo banco?

Luiz 2017 escreveu:

Luiz 2017 escreveu:

Numa aplicação bancária é esperado um montante de $ 100.000,00 ao final de oito depósitos no valor de $ 11.467,89 mensais consecutivos antecipados com sistema de capitalização de juros simples. Qual a taxa de juros paga pelo banco?

Solução:

A equação geral do valor futuro para séries financeira uniformes de "n" parcelas "PMT", iguais e consecutivas, a juros compostos "i", é:

FV=PMT\cdot\left[(1+i)^1+(1+i)^2+(1+i)^3+(1+i)^4+ ... + (1+i)^n\right]

De modo análogo, a equação geral do valor futuro para séries financeiras uniformes de "n" parcelas "PMT", iguais e consecutivas, a juros simples "i", será:
 
FV = PMT\cdot\left[(1+1i)+(1+2i)+(1+3i)+(1+4i)+ ... +(1+ni)\right]

onde:
 
PV = 100.000,00
n = 8 meses
PMT = 11.467,89
i = ?
 
Substituindo valores:
 
100.000 = 11.467,89\cdot\left[(1+1i)+(1+2i)+(1+3i)+(1+4i)+(1+5i)+(1+6i)+(1+7i)+(1+8i)\right]

8,719999 = \left[(1+1i)+(1+2i)+(1+3i)+(1+4i)+(1+5i)+(1+6i)+(1+7i)+(1+8i)\right]

Excluindo os parênteses:

8,719999 = 1+1i+1+2i+1+3i+1+4i+1+5i+1+6i+1+7i+1+8i

8,719999 - 8 = 36i

i = \frac{0,719999}{36}

i = 0,0199999999...

\boxed{i \approx 2\%\;a.m.}

Sds.

Dedução da equação geral do valor futuro para séries financeiras uniformes de "n" parcelas "PMT", iguais, consecutivas e antecipadas, à juros simples "i".

O valor futuro para séries financeira uniformes de "n" parcelas "PMT" antecipadas, a juros compostos "i", é:

FV=PMT\cdot\Big[(1+i)^1+(1+i)^2+(1+i)^3+(1+i)^4+ ... + (1+i)^n\Big]

De modo análogo, o valor futuro para séries financeiras uniformes de "n" parcelas "PMT" antecipadas, a juros simples"i", será:
 
FV = PMT\cdot\Big[(1+1i)+(1+2i)+(1+3i)+(1+4i)+ ... +(1+ni)\Big]

Os termos entre colchetes representam a soma de uma PA de razão i, com de N=n termos, sendo a₁=(1+1i) e a_N=(1+ni), em que:

S_N = N \cdot \frac{a_1 + a_N}{2} = n \cdot \frac{(1+1i) + (1+ni)}{2} = n+i\cdot\frac{n^2+n}{2}

Substituindo S_N na equação anterior:

\boxed{FV = PMT\cdot\Big[n+i\cdot\frac{n^2+n}{2}\Big]}

c.q.d.

Para o exercício dado:

FV = 100.000,00
PMT = 11.467,89
n = 8 meses
i = ?

Substituindo valores:

100000 = 11467,89\cdot\Big[8+i\cdot\frac{8^2+8}{2}\Big]

i = 0,0199999999999

\boxed{i \approx 2\%\;a.m.}