Taxa de juros simples 2

por Luiz 2017 Qui 01 Fev 2018, 19:17

Numa aplicação bancária é esperado um montante de $ 100.000,00 ao final de oito depósitos no valor de $ 11.467,89 mensais consecutivos antecipados com sistema de capitalização de juros simples. Qual a taxa de juros paga pelo banco?

por **Baltuilhe** Sex 02 Fev 2018, 10:22

Bom dia!

Como queremos acumular o valor de $ 100.000,00 após oito depósitos de $ 11.467,89 irei calcular os valores desses depósitos 'atualizados' para a data final do fluxo de caixa, ou seja, para a data 8.
Então:
\\100\,000 \cdot \left( 1 + i \cdot 7 \right) = 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 7 \right) + 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 6 \right) + 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 5 \right) + 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 4 \right) + 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 3 \right) + 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 2 \right) + 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 1 \right) + 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 0 \right)\\\\100\,000 \cdot (1 + 7i) = 11\,467,89 \cdot \left[ (1 + 7i) + (1 + 6i) + (1 + 5i) + (1 + 4i) + (1 + 3i) + (1 + 2i) + (1 + 1i) + (1 + 0i) \right]\\\\100\,000 \cdot (1 + 7i) = 11\,467,89 \cdot \left[ 8 + \dfrac{ (0i + 7i) \cdot 8 }{ 2 } \right]\\\\100\,000 + 700\,000i = 11\,467,89 \cdot 8 + 11\,467,89 \cdot 28i\\\\378\,899,08i = 8\,256,88\\\\i = \dfrac{ 8\,256,88 }{ 378\,899,08 }\\\\\boxed{ i \approx 2,179\% }

Espero ter ajudado!

por Luiz 2017 Sex 02 Fev 2018, 10:58

baltuilhe escreveu:Bom dia!

Como queremos acumular o valor de $ 100.000,00 após oito depósitos de $ 11.467,89 irei calcular os valores desses depósitos 'atualizados' para a data final do fluxo de caixa, ou seja, para a data 8.
Então:
\\100\,000 \cdot \left( 1 + i \cdot 7 \right) = 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 7 \right) + 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 6 \right) + 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 5 \right) + 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 4 \right) + 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 3 \right) + 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 2 \right) + 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 1 \right) + 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 0 \right)\\\\100\,000 \cdot (1 + 7i) = 11\,467,89 \cdot \left[ (1 + 7i) + (1 + 6i) + (1 + 5i) + (1 + 4i) + (1 + 3i) + (1 + 2i) + (1 + 1i) + (1 + 0i) \right]\\\\100\,000 \cdot (1 + 7i) = 11\,467,89 \cdot \left[ 8 + \dfrac{ (0i + 7i) \cdot 8 }{ 2 } \right]\\\\100\,000 + 700\,000i = 11\,467,89 \cdot 8 + 11\,467,89 \cdot 28i\\\\378\,899,08i = 8\,256,88\\\\i = \dfrac{ 8\,256,88 }{ 378\,899,08 }\\\\\boxed{ i \approx 2,179\% }

Espero ter ajudado!

Baltuilhe, francamente não consegui acompanhar seu raciocínio.

Sds.

por Luiz 2017 Sex 02 Fev 2018, 11:03

Luiz 2017 escreveu:

Numa aplicação bancária é esperado um montante de $ 100.000,00 ao final de oito depósitos no valor de $ 11.467,89 mensais consecutivos antecipados com sistema de capitalização de juros simples. Qual a taxa de juros paga pelo banco?

Solução:

A equação geral do valor futuro para séries financeira uniformes de "n" parcelas "PMT", iguais e consecutivas, a juros compostos "i", é:

FV=PMT\cdot\left[(1+i)^1+(1+i)^2+(1+i)^3+(1+i)^4+ ... + (1+i)^n\right]

De modo análogo, a equação geral do valor futuro para séries financeiras uniformes de "n" parcelas "PMT", iguais e consecutivas, a juros simples "i", será:

FV = PMT\cdot\left[(1+1i)+(1+2i)+(1+3i)+(1+4i)+ ... +(1+ni)\right]

onde:

PV = 100.000,00
n = 8 meses
PMT = 11.467,89
i = ?

Substituindo valores:

100.000 = 11.467,89\cdot\left[(1+1i)+(1+2i)+(1+3i)+(1+4i)+(1+5i)+(1+6i)+(1+7i)+(1+8i)\right]

8,719999 = \left[(1+1i)+(1+2i)+(1+3i)+(1+4i)+(1+5i)+(1+6i)+(1+7i)+(1+8i)\right]

Excluindo os parênteses:

8,719999 = 1+1i+1+2i+1+3i+1+4i+1+5i+1+6i+1+7i+1+8i

8,719999 - 8 = 36i

i = \frac{0,719999}{36}

i = 0,0199999999...

\boxed{i \approx 2\%\;a.m.}

Sds.

por **Baltuilhe** Sex 02 Fev 2018, 11:08

Luiz,

A série é postecipada, portanto, o último depósito é junto com o último resgate, concorda?
Eu também tinha calculado 2% para série antecipada (que foi o exercício que fez).

Abraços

por **Baltuilhe** Sex 02 Fev 2018, 11:17

Luiz 2017 escreveu:
baltuilhe escreveu:Bom dia!

Como queremos acumular o valor de $ 100.000,00 após oito depósitos de $ 11.467,89 irei calcular os valores desses depósitos 'atualizados' para a data final do fluxo de caixa, ou seja, para a data 8.
Então:
\\100\,000 \cdot \left( 1 + i \cdot 7 \right) = 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 7 \right) + 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 6 \right) + 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 5 \right) + 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 4 \right) + 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 3 \right) + 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 2 \right) + 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 1 \right) + 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 0 \right)\\\\100\,000 \cdot (1 + 7i) = 11\,467,89 \cdot \left[ (1 + 7i) + (1 + 6i) + (1 + 5i) + (1 + 4i) + (1 + 3i) + (1 + 2i) + (1 + 1i) + (1 + 0i) \right]\\\\100\,000 \cdot (1 + 7i) = 11\,467,89 \cdot \left[ 8 + \dfrac{ (0i + 7i) \cdot 8 }{ 2 } \right]\\\\100\,000 + 700\,000i = 11\,467,89 \cdot 8 + 11\,467,89 \cdot 28i\\\\378\,899,08i = 8\,256,88\\\\i = \dfrac{ 8\,256,88 }{ 378\,899,08 }\\\\\boxed{ i \approx 2,179\% }

Espero ter ajudado!

Baltuilhe, francamente não consegui acompanhar seu raciocínio.

Sds.

Onde se perdeu? Very Happy

por Luiz 2017 Sex 02 Fev 2018, 11:36

baltuilhe escreveu:Luiz,

A série é postecipada, portanto, o último depósito é junto com o último resgate, concorda?
Eu também tinha calculado 2% para série antecipada (que foi o exercício que fez).

Abraços

Baltuilhe.

Peço mil desculpas pelo equívoco, mas a série é antecipada a fim de que todos os depósitos sejam capitalizados. Já retifiquei o enunciado. Foi um erro material, qual seja, aquele que se dá quando se escreve coisa diversa do que queria escrever, quando o teor da texto não coincide com o que o se tem em mente escrever. Mais uma vez, desculpe.

Sds.

por Luiz 2017 Sex 02 Fev 2018, 11:47

baltuilhe escreveu:
Onde se perdeu?

Não estava compreendendo por que concebi o problema como antecipado, mas por equívoco (como já me redimi), escrevi postecipado. Então não entendi quando vi que seu raciocínio não seguia a concepção original, até que você me alertou e fiz a retificação.

Grato

por Luiz 2017 Sex 02 Fev 2018, 11:58

baltuilhe escreveu:Luiz,

Eu também tinha calculado 2% para série antecipada...

Abraços

Você estava certo. Lamento o equívoco.

Sds

por Luiz 2017 Sex 02 Fev 2018, 12:24

baltuilhe escreveu:Bom dia!

Como queremos acumular o valor de $ 100.000,00 após oito depósitos de $ 11.467,89 irei calcular os valores desses depósitos 'atualizados' para a data final do fluxo de caixa, ou seja, para a data 8.
Então:
\\100\,000 \cdot \left( 1 + i \cdot 7 \right) = 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 7 \right) + 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 6 \right) + 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 5 \right) + 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 4 \right) + 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 3 \right) + 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 2 \right) + 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 1 \right) + 11\,467,89 \cdot \left( 1 + i \cdot 0 \right)\\\\100\,000 \cdot (1 + 7i) = 11\,467,89 \cdot \left[ (1 + 7i) + (1 + 6i) + (1 + 5i) + (1 + 4i) + (1 + 3i) + (1 + 2i) + (1 + 1i) + (1 + 0i) \right]\\\\100\,000 \cdot (1 + 7i) = 11\,467,89 \cdot \underbrace{ \left[ 8 + \dfrac{ (0i + 7i) \cdot 8 }{ 2 } \right]}_{?}\\\\100\,000 + 700\,000i = 11\,467,89 \cdot 8 + 11\,467,89 \cdot 28i\\\\378\,899,08i = 8\,256,88\\\\i = \dfrac{ 8\,256,88 }{ 378\,899,08 }\\\\\boxed{ i \approx 2,179\% }

Espero ter ajudado!

baltuilhe, clareie melhor:

1- Que expressão é esta acima com interrogação?
2- Por que usou tempos 0 até 7 e não 1 até 8?