Divisibilidade - 1

por Cristina Lins Ter 30 Jan 2018, 14:22

Prove que para qualquer nº natural n, n³ + (n + 1)³ + (n + 2)³ é divisível por 9

por superaks Ter 30 Jan 2018, 15:25

Por indução teste para n = 0.

0³ + 1³ + 2³ = 9 ✓

Suponha que é válido para um determinado valor de n onde chamaremos de k e com isso queremos provar que é válido para n = k + 1

Hipótese: 9 | k³ + (k + 1)³ + (k + 2)³ = ak

Tese: (k + 1)³ + (k + 2)³ + (k + 3)³ = a(k + 1)

Faça:

a(k + 1) - ak = (k + 3)³ - k³

a(k + 1) - ak = 9[k(k + 3) + 3]

a(k + 1) = 9[k(k + 3) + 3] + ak

Como 9 divide ak por hipótese de indução e 9 divide 9[k(k + 3) + 3], então 9 divide a(k + 1) concluindo o que queríamos provar.

Logo, 9 | n³ + (n + 1)³ + (n + 2)³ para todo n natural.

por Cristina Lins Ter 30 Jan 2018, 16:20

Oi boa tarde

Claro, indução. Nossa, as vezes dá um branco na minha mente. Obrigada

por **Elcioschin** Ter 30 Jan 2018, 17:12

Um modo mais simples:

x = n³ + (n + 1)³ + (n + 2)³

x = n³ + (n³ + 3.n² + 3.n + 1) + (n³ + 6.n² + 12.n + 8 )

x = 3.n³ + 9.n² + 15.n + 9

x = 3.(n³ + 3.n² + 5.n + 3) ---> x é divisível por 3

por superaks Ter 30 Jan 2018, 18:42

Boa tarde mestre.

Note que o enunciado pede para provar que a expressão é divisível por 9

por **Elcioschin** Ter 30 Jan 2018, 19:11

Li errado: entendi divisível por 3. Desconsiderem minha solução.

por superaks Ter 30 Jan 2018, 19:41

Mas aproveitando o que o mestre concluiu, temos que

x = 3 . (n³ + 3n² + 5n + 3)

Some e subtraia n no segundo fator

x = 3 . (n³ - n + 3n² + 6n + 3)

3 divide n³ - n, pois n³ - n = n(n² - 1) = n(n - 1)(n + 1) é produto de 3 números consecutivos, logo, é divisível por 3 (em geral o produto de n números consecutivos é divisível por n).

Dessa forma 3 | (n³ - n) + 3(n² + 2n + 1)

Logo, n³ - n + 3n² + 6n + 3 = 3k

x = 3 . (n³ - n + 3n² + 6n + 3)

x = 3 . (3k)

x = 9k

Então x é um múltiplo de 9 (ou seja, divisível por 9), como queríamos provar