Pagamento a prazo ou à vista com desconto?

PAGAMENTO A PRAZO OU À VISTA COM DESCONTO?

Quando um fornecedor oferece um produto para ser pago em prestações mensais iguais "sem juros" e, opcionalmente oferece desconto percentual "d" para pagamento à vista, há que se fazer algumas considerações a respeito.

- Seja "p" o preço do produto ofertado sem desconto, a ser dividido em "n" parcelas mensais iguais, sem acréscimos, isto é, sem juros.

- Seja "d" o desconto percentual oferecido para pagamento do produto à vista, isto é, de uma só vez.

- Se há desconto, então o valor efetiva e matematicamente financiável não será o preço anunciado, e sim o preço à vista, aquele resultante do preço anunciado, subtraído do desconto, isto é, (p - dxp).

- E o valor de cada parcela será o resultado da divisão do preço anunciado dividido pelo número de parcelas, ou seja, p/n.

Em resumo:

PV = p-d\cdot p=(1-d)\cdot p = valor do produto efetivamente financiável
PMT = p/n = valor de cada parcela.
n = número de parcelas.
d = desconto a ser concedido.
i = taxa de juros embutida.

Estes são os dados que efetivamente deverão entrar na equação do valor presente, seja ela:

a) Postecipada:

PV = PMT \cdot \frac {1-(1+i)^{-n}}{i} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (1)

b) Antecipada:

PV = PMT\cdot\frac {(1+i)^n-1}{i \cdot (1+i)^{n-1}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (2)

c) ou Diferida:

PV = PMT \cdot \frac {1-(1+i)^{-n}}{i \cdot (1+i)^k} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)

sendo:

- Séries diferidas postecipadas: k = c
- Séries diferidas antecipadas: k = c-1
- Onde c = período de carência.

Estas são, portanto, as equações gerais de séries uniformes a serem utilizadas na análise do desconto, bastando apenas substituir os valores de n, PV e PMT com as considerações de "p" e "d" acima apresentadas. Note que não há alteração na equação tradicional de juros, mas sim apropriação adequada nos valores de PV e PMT.

Mas, como se vê, trata-se de equações implícitas em relação à taxa "i", ou, se desenvolvidas, recaem em equações polinomiais de grau "n". Ressalte-se que equações do 3º e 4º graus têm soluções, todavia, complicadas, demoradas e trabalhosas. Equações de grau superior ao 4º em geral não têm solução algébrica, salvo casos muitíssimo especiais. Portanto, matematicamente, para encontrar a taxa em equações implícitas ou algébricas de grau superior a dois, ou se usa fórmulas aproximativas (como Baily, Lenzi, Karpin, etc), ou se usa aplicativos (como Wolfram-Alpha, Symbolab, etc), ou se usa calculadoras especiais (como HP 12C, Casio FX-991, Texas BA II-Plus, etc), ou então se usa métodos numéricos iterativos (como o de Newton) com os quais se obtém valores tão exatos quanto se queira.

O cálculo da taxa em séries financeiras infelizmente tem essa parte não desejável. Não é sem motivos que pesquisadores se empenham há mais de 200 anos em encontrar soluções mais simples, que possam ser utilizadas como alternativa.

Substituindo valores de PV e PMT na eq. (1):

(1-d) \cdot p = \frac {p}{n} \cdot \frac {1 - (1+i)^{-n}}{i}

1-d = \frac {1 -(1+i)^{-n}} {n \cdot i}

Portanto, a equação geral para o desconto, com pagamento postecipado, será:

\boxed{ d = 1 - \frac {1 - (1+i)^{-n}} {n \cdot i}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1A)


Substituindo valores de PV e PMT na eq. (2):

(1-d) \cdot p = \frac{p}{n} \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i \cdot (1+i)^{n-1}}

1-d = \frac{(1+i)^n - 1}{n \cdot i \cdot (1+i)^{n-1}}

Portanto, a equação geral para o desconto, com pagamento antecipado, será:

\boxed { d = 1 - \frac{(1+i)^n - 1}{n \cdot i \cdot (1+i)^{n-1}} }\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2A)


Substituindo valores de PV e PMT na eq. (3):

(1-d)\cdot p = \frac{p}{n} \cdot \frac {1-(1+i)^{-n}}{i \cdot (1+i)^k}

1-d = \frac {1-(1+i)^{-n}}{n \cdot i \cdot (1+i)^k}

Portanto, a equação geral para o desconto, com pagamento diferido, será:

\boxed { d = 1 - \frac {1-(1+i)^{-n}}{n \cdot i \cdot (1+i)^k} }\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3A)



Caberia ainda aqui 3 considerações sobre o desconto para pagamento à vista:

I - Caso em que d=0:

Nesta hipótese:

PV = (1+d)\cdot p = (1-0) \cdot p = p.

Mas "p" é também o valor total da compra sem desconto, ou seja, é o montante total a ser pago, ao final, pelo produto, em outras palavras, FV = p.

Ocorre que, pela definição de taxa:

i = \frac{FV - PV}{PV} = \frac{p - p}{p} = \frac{0}{p} = 0

Logo, se d = 0 então i = 0, ou seja, se não há desconto, implica em que, "matematicamente" não há juro.

II - Caso em que d=1:

Nesta hipótese então

PV = (1+d) \cdot p = (1-1)\cdot p = 0.

Da equação geral vem:

0 = PMT \cdot \frac {1 - (1+i)^{-n}} {i}

0 = 1 - (1+i)^{-n}

1+i = 1^{-1/n} = 1 \Longrightarrow \; i = 0

Logo, se d = 1 então i = 0, ou seja, se o desconto é 1 = 100/100 = 100% (gratuidade), implica em que não há juro.

III - Resta portanto que:

Para que, matematicamente, haja juro, então 0<d<1.



EXEMPLOS:

1- Um lojista anuncia um produto a ser pago em dez vezes "sem juros", sendo o primeiro pagamento um mês após a compra. Considere a taxa de juros de mercado em 4,5% a.m. Qual o desconto mínimo a ser concedido sobre o preço do produto para que o pagamento à vista seja mais vantajoso?

Utilizando a eq. (1A):

d = 1-\frac{1-(1+i)^{-n}}{n \cdot i} = 1-\frac{1-(1+0,045)^{-10}}{10\times 0,045}

d = 1-0,79127182 = 0,208728

d \approx 20,87\%



2- Uma empresa conhecida anuncia um smartphone em 10 parcelas sem juros. Mas oferece um desconto de 12% para pagamento de uma só vez pelo boleto bancário. É uma venda realmente sem juros?



d = 0,12
n = 10 meses
i = ?

Utilizando a eq. (1A):

d = 1-\frac{1-(1+i)^{-n}}{n \cdot i}

0,12 = 1-\frac{1-(1+i)^{-10}}{10 \times i}

1 - 0,12 = \frac{1-(1+i)^{-10}}{10 \times i}

8,8 \cdot i = 1 - (1+i)^{-10}

8,8 \cdot i + (1+i)^{-10} - 1 = 0

O método de Newton, a Casio FX-991ES e o Wolfram-Alpha dão o mesmo resultado:

i = 0,0239443

i \approx 2,39\% \;a.m.

Resposta: a venda tem juros embutidos.


CONCLUSÕES:

1- Como se vê, as equações (1A), (2A) e (3A) determinam o desconto mínimo (d) a ser concedido, respectivamente nas formas postecipadas, antecipadas e diferidas, independentemente do valor do produto (PV) ou da prestação (PMT), para que o pagamento à vista seja mais vantajoso que o parcelamento.

2- Podem ainda determinar a taxa máxima a ser cobrada, ou o prazo mínimo a ser concedido, para que o pagamento à vista seja mais vantajoso que o parcelamento.

3- Para o cálculo de qualquer uma das variáveis, é necessário conhecer as demais.

4- Para determinação de "i" ou "n" a resolução resultará em equações implícitas, qual seja, não será possível explicitar estas variáveis para cálculo direto. Neste caso será necessário recorrer a algum método iterativo; recorrer a alguma calculadora especial; recorrer a algum aplicativo; ou recorrer a alguma fórmula direta aproximada.

5- Portanto, pelo aqui exposto, fica evidente que no financiamento parcelado "sem juros", o desconto para pagamento à vista é o elemento revelador do juro embutido. Mesmo que não tenha desconto, mas se o lojista ao lado tem o mesmo produto por preço inferior, é porque, conforme demonstrado, tem juro embutido. Em qualquer circunstância, havendo desconto ele sempre será 0<d<1. Se d=1 significa desconto de 100% e com gratuidade não há nada que possa ser feito. Por outro lado, se d=0, resolvendo qualquer uma das equações encontra-se i=0, os chamados financiamentos "taxa zero", que se encaixam na categoria "milagres não existem".


LC - 04/jan/2018.

Interessante artigo. Os exemplos também ficaram didáticos. O mundo financeiro é realmente muito amplo; temos muitas coisas a observar caso queiramos saber o que realmente se passa.

Imagino que você mesmo o tenha escrito. Parabéns.

PedroX escreveu:Interessante artigo. Os exemplos também ficaram didáticos. O mundo financeiro é realmente muito amplo; temos muitas coisas a observar caso queiramos saber o que realmente se passa.

Imagino que você mesmo o tenha escrito. Parabéns.

Sim, o texto é inteiramente de minha lavra. Eu o escrevi já há algum tempo e inicialmente pretendia publicá-lo como artigo, mas por fim decidi colocá-lo aqui no fórum como um post. Fico grato às suas palavras.