Determine o valor da constante.

Sabemos que o numero real C e numeros reais não-nulos x, y e z, dois a dois distintos, satisfazem:

x +\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}= y+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}=z+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=C



Mostre que C = - 1.

Olá ,
Então pegando inicialmente a primeira igualdade :

x+(y/z)+(z/y)=y+(x/z)+(z/x)

(x-y) -(x-y)/z =z(y-x)/xy

(x-y)[1-(1/z)]=z.(-1).(x-y)/xy

Como x,y,z são distintos dois a dois e não nulos , podemos cortar (x-y).
Fazendo tal processo:

[1-(1/z)]=-z/xy

(z-1).(xy)/z=-z
xyz-xy=-(z)^2

Temos então que :

x.y=XYZ + z^2 (I)

Agora perceba que se fizermos para as outras duas igualdades , teremos os valores:

xz=xyz+y^2(II)
e
yz=xyz+x^2(III)

Se diminuirmos (I) de (II) , teremos :

x=-y-z
Portanto , 

x+y+z=0.

Agora somando as três igualdades iniciais , estas iguais a C ( que queremos descobrir , temos:)

x+(y/x)+(z/y)+y+(x/z)+(z/x)+z+(x/y)+(y/x)=3.C

Repare que de cara temos o x+y+z , logo podemos elimina-lo ,pois este é igual a zero.

(y/z)+(z/y)+(x/z)+(z/x)+(x/y)+(y/x)=3.C

Fazendo o MMC do denominador (x.y.z) , temos :

3.C=y^2.x+z^2x+x^2.y+z^2.y+x^2.z+y^2.z/x.y.z

3.C=xy(x+y)+xz(x+z)+zy(y+z)/x.y.z

Mas repare que podemos colocar a soma de dois valores por exeplo x+y=-z , do mesmo jeito z+x=-y e y+z=-x.

Então substituindo, temos :

3.C=-x.y.z-x.y.z-x.y.z/x.y.z
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C=-1.