Provar que os números são primos entre si

por lucrdjds Qui 21 Dez 2017, 11:26

Sendo a um número natural, mostre que 2a+1 e 3a+1 são primos entre si.

Como faço?

por **fantecele** Qui 21 Dez 2017, 13:55

Vamos chamar de "d" o mdc entre 2a + 1 e 3a + 1, temos que:

d|2a + 1
d|3a + 1

∴ d|3.(2a+1)-2(3a+1) → d|1

Se d|1, então d = 1, dessa forma 2a+1 e 3a+1 são primos entre si.

por lucrdjds Qui 21 Dez 2017, 14:06

Certo, d tem que resultar 1 para comprovar que são primos entre si. Mas não entendi o porquê de multiplicar (2a+1) por 3 e (3a+1) por 2, e subtraí-los.
Caso a questão pedisse para verificar se são ou não, como faria?

por **fantecele** Qui 21 Dez 2017, 14:23

Tipo, eu apenas utilizei da propriedade:
Se k|a e k|b então k divide uma combinação entre a e b, por exemplo "k|xa + xb"
Eu multipliquei por esses valores para que a combinação entre eles resultasse em 1 e com isso mostrasse que d seria igual a 1 e com isso eles são primos entre si, perceba que:
3.(2a + 1) - 2.(3a + 1) = 6a + 3 - 6a - 2 = 1
Fazendo isso já está bom para mostrar, pois assim mostra que o mdc entre eles é igual a 1, o que resulta que eles são primos entre si.