Calcule a taxa de juros da série em PG.

por Luiz 2017 Qua 20 Dez 2017, 23:11

Um financiamento de $ 20.451,87 a ser pago em 4 parcelas mensais postecipadas foi realizado com a primeira prestação no valor de $ 5.000,00. As demais crescem em progressão geométrica à razão de 10%. Calcule a taxa de juros.

R: 5% a.m.

por biologiaéchato Qui 21 Dez 2017, 11:16

Temos a PG:
5000
5000*1,1
5000*1,1²
5000*1,1³

Expressando na forma de progressão:
Termo inicial:5000
Razão=1,1
Número de termos:4

Fórmula pra soma dos n termos de uma PG:
S=[Termo inicial(1-Razão^(n))]/(1-Razão)

Substituindo:
S=5000(1-(1,1)⁴/-0,1
S=5000(-0,4641)/-0,1
S=-2320,5/-0,1
S=2320*10
S=R$23200--->Esse é o valor total pago

Então cara, creio que deva estar certa minha conta da PG.
Eu não entendo nada sobre fórmulas de matemática financeira, e muito menos como as resolver.
Poderia me dizer qual fórmula uso para prosseguir com esse cálculo?E se possível, escrever a fórmula?

Grato e um grande abraço.

por **ivomilton** Qui 21 Dez 2017, 13:06

Luiz 2017 escreveu:Um financiamento de $ 20.451,87 a ser pago em 4 parcelas mensais postecipadas foi realizado com a primeira prestação no valor de $ 5.000,00. As demais crescem em progressão geométrica à razão de 10%. Calcule a taxa de juros.

R: 5% a.m.

x = taxa de juros

20451,87 * (1+x)⁴ = 5000 * (1+x)³ + 5500 * (1+x)² + 6050 * (1+x) + 6655

onde:
5500 = 5000 * 1,1
6050 = 5500 * 1,1
6655 = 6050 * 1,1

Colocando os dados da lina (I) no programa www.wolframAlpha.com, fica:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=20451.87+*+(1%2Bx)%5E4+%3D+5000*(1%2Bx)%5E3+%2B+5500*(1%2Bx)%5E2+%2B+6050*(1%2Bx)+%2B6655

Solução:
x = 0,05 = 5% a.m.

Um abraço.

por Luiz 2017 Qui 21 Dez 2017, 13:20

Ivomilton, só de curiosidade. Se ao invés de 4 fosse 400 parcelas, como faria?

Sds.

por **ivomilton** Qui 21 Dez 2017, 15:55

Luiz 2017 escreveu:Ivomilton, só de curiosidade. Se ao invés de 4 fosse 400 parcelas, como faria?

Sds.

Creio que ficaria algo assim:

20451,87 * (1+x)⁴ºº = 5000 * [(1+x) + 1,1 * (1+x)² + 1,1² (1+x)³ + ... + 1,1³⁹⁹ * (1+x)⁴ºº]

Confere?

por biologiaéchato Qui 21 Dez 2017, 15:58

Só por curiosidade, qual fórmula teria de ser utilizada, caso esse cálculo seja feito manualmente?

por Luiz 2017 Qui 21 Dez 2017, 16:11

ivomilton escreveu:
Luiz 2017 escreveu:Ivomilton, só de curiosidade. Se ao invés de 4 fosse 400 parcelas, como faria?

Sds.
Creio que ficaria algo assim:

20451,87 * (1+x)⁴ºº = 5000 * [(1+x) + 1,1 * (1+x)² + 1,1² (1+x)³ + ... + 1,1³⁹⁹ * (1+x)⁴ºº]

Confere?

Sua técnica confere. Só que acho que o Wolfram-Alpha não suportaria equação tão grande!

por **ivomilton** Qui 21 Dez 2017, 18:01

Luiz 2017 escreveu:
ivomilton escreveu:
Luiz 2017 escreveu:Ivomilton, só de curiosidade. Se ao invés de 4 fosse 400 parcelas, como faria?

Sds.
Creio que ficaria algo assim:

20451,87 * (1+x)⁴ºº = 5000 * [(1+x) + 1,1 * (1+x)² + 1,1² (1+x)³ + ... + 1,1³⁹⁹ * (1+x)⁴ºº]

Confere?

Sua técnica confere. Só que acho que o Wolfram-Alpha não suportaria equação tão grande!

Pois é, caro amigo Luiz, iria "fundir os neurônios" do Wolfram-Alpha ..... kkkkk
Não tenho ideia de como resolveria realmente essa questão que o amigo propôs.

Um abraço e um feliz Natal e abençoado ano de 2018!

por Luiz 2017 Qui 21 Dez 2017, 18:36

Duduu2525 escreveu:Só por curiosidade, qual fórmula teria de ser utilizada, caso esse cálculo seja feito manualmente?

Eu utilizo a equação geral de juros para séries de pagamentos postecipados em progressão geométrica crescente:

PV = p \left[\frac {1 - \left( \frac{1+g}{1+i} \right)^n} {i-g}\right]

onde:

PV = valor presente, valor do financiamento.
p = valor da primeira prestação
g = razão de crescimento
n = número de períodos de tempo
i = taxa de juros

Que no presente caso:

PV = $ 20.451,87
p = $ 5.000,00
g = 10% = 0,10
n = 4 meses
i = ?

Substituindo valores:

20451,87 = 5000 \left[\frac {1 - \left( \frac{1+0,10}{1+i} \right)^4} {i-0,10}\right]

\frac {20451,87}{5000} \cdot (i-0,10) = 1 - \frac{(1,10)^4}{(1+i)^4}

4,090374\cdot (i-0,10) = 1 - \frac{1,4641}{(1+i)^4}

Que recai numa equação do 5º grau, algebricamente sem solução.

Mas, pelo Wlfram-Alpha:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+4.090374*(x-0.1)+%3D+1+-+1.4641%2F(1%2Bx)%5E4

\bf{ i = 5\% \;a.m. }

(que bate com a solução do Ivomilton)