conjuntos

(Fapan-2010) Um clube tem x membros e está organizado em 4 comitês de acordo com duas regras:
1- cada membro deve pertencer a 2 e somente 2 comitês
2- dois comitês quaisquer podem ter no máximo 1 membro em comum.
nessas condições, pode-se afirmar sobre o valor de x:
a) não pode ser encontrado
b) tem um único valor entre 8 e 16
c) tem 2 valores entre 8 e 16
d) tem um único valor entre 4 e 8
e) tem 2 valores entre 4 e 8


gab: E

Vamos supor que a 2ª condição fosse "dois comitês quaisquer possuem exatamente 1 membro em comum.".

Desse modo, o número de membros é igual ao número de maneiras de escolher 2 dos 4 comitês, isto é, C_2^4=6 membros.

Para ficar mais claro, pode-se fazer a distribuição dos 6 membros nas 4 comitês; seja A, B, C, D, E e F os nomes dos membros, assim como exemplo temos:

1ª Comitê: ABC
2ª Comitê: ADE
3ª Comitê: BDF
4ª Comitê: CEF

Com isso existiria uma única solução.

Como o problema pede que "dois comitês quaisquer podem ter no máximo 1 membro em comum", pode haver então dois comitês sem nenhum membro em comum.

Para isso acontecer basta retirar um ou mais membros dos 6, para satisfazer as regras impostas.

Caso tirássemos 1 membro, por exemplo B, teríamos: 

1ª Comitê: AC
2ª Comitê: ADE
3ª Comitê: DF
4ª Comitê: CEF

Se fosse tirado dois membros, por exemplo B e F, teríamos:

1ª Comitê: AC
2ª Comitê: ADE
3ª Comitê: D
4ª Comitê: CE

Retirando três membro, por exemplo B, C e F, tem-se:


1ª Comitê: A
2ª Comitê: ADE
3ª Comitê: D
4ª Comitê: E

A partir daqui não se pode retirar mais membros, pois algum comitê não teria membro.

Logo, x pode ser 3, 4, 5 ou 6.

Analisando as alternativas do problema e considerando que "tem 2 valores entre 4 e 8", seja o mesmo que 4 < x <8, portanto letra E.

obrigado Evandro!