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por jose16henrique campos de Qui 09 Nov 2017, 17:02

Se 0< x\neq 1 demonstre que :

\frac{1}{\log_{x}2\cdot \log_{x}4}+\frac{1}{\log_{x}4\cdot \log_{x}8}+...+\frac{1}{\log_{x}2^{n-1} \cdot \log_{x}2^{n}}=\left ( 1-\frac{1}{n} \right )\cdot \frac{1}{\log_{x}^{2}2}

Sugestão :
\frac{1}{n\left ( n-1 \right )}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}

Isso está no livro, acredito que seja possivel por indução porém não to conseguindo, alguém poderia me ajudar ?

por evandronunes Qui 09 Nov 2017, 19:04

Temos:

\frac{1}{\log_{x}2\cdot \log_{x}4}+\frac{1}{\log_{x}4\cdot \log_{x}8}+...+\frac{1}{\log_{x}2^{n-1} \cdot \log_{x}2^{n}}=

=\frac{1}{\log_{x}2\cdot \log_{x}2^2}+\frac{1}{\log_{x}2^2\cdot \log_{x}2^3}+...+\frac{1}{\log_{x}2^{n-1} \cdot \log_{x}2^{n}}=

=\frac{1}{\log_{x}2\cdot 2\log_{x}2}+\frac{1}{2\log_{x}2\cdot 3\log_{x}2}+...+\frac{1}{(n-1)\log_{x}2 \cdot n\log_{x}2}=

=\frac{1}{\log_{x}^{2}2} \left ( \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+...+\frac{1}{(n-1) \cdot n} \right ) =

=\frac{1}{\log_{x}^{2}2} \left ( \frac{1}{2 \cdot 1}+\frac{1}{3 \cdot 2}+...+\frac{1}{n \cdot (n-1)} \right )

Utilizando a sugestão, tem-se:

\frac{1}{\log_{x}^{2}2} \left [ \left ( \frac{1}{1} -\frac{1}{2} \right ) +\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right ) +...+ \left ( \frac{1}{(n-1)}- \frac{1}{n} \right ) \right ]

Cancelando os termos opostos, sobra:

\frac{1}{\log_{x}^{2}2} \left ( \frac{1}{1} - \frac{1}{n} \right )

Portanto,

\left (1 - \frac{1}{n} \right ) \frac{1}{\log_{x}^{2}2}

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