Equação Matricial - FGV

por Rialz Qua 16 Ago 2017, 19:57

Seja A uma matriz diagonal de ordem 2; isto é, A é do tipo:

| x 0 |

| 0 y |

onde x e y são números quaisquer. Nestas condições, o número de matrizes que satisfazem a equação matricial
A ² - A = 0

é:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

Pensei que as possíveis matrizes as quais resolveriam a equação poderiam ser a matriz identidade, a matriz identidade transposta, e a matriz nula. Não consegui enxergar uma quarta possibilidade.

Desde já agradeço aos nobres senhores matemáticos pela leitura da questão, e peço perdão pela formatação esquisita (não encontrei jeito fácil de construir a imagem da matriz aqui no fórum).

por SergioEngAutomacao Qua 16 Ago 2017, 21:19

A^2 - A = 0

[x 0]*[x 0] - [x 0] = 0
[0 y] [0 y] [0 y]

[x^2 0] - [x 0] = 0
[0 y^2] [0 y]

Saimos no sistema:

x^2 - x = 0
y^2 - y = 0

(uma solução: y = 0 e x = 0)

x^2 = x
y^2 = y

(dividindo as duas eq. por x e y, respectivamente)

x = 1
y = 1

Nisso saímos com quatro combinações de matrizes que satisfazem essa expressão, são elas:

C/ x = 1 e y = 0.
C/ x = 1 e y = 1.
C/ y = 1 e x = 0.
C/ x = 0 e y = 0.