Progressão

por Pedro Ken Ter 10 maio 2011, 20:33

As bolas abaixos têm centros sobre reta r e são tangentes exteriormente tendo,cada uma metade da área da anterior.Sabendo-se que a primeira tem diâmetro igual à d,a distância do ponto A0 ao ponto An tendo (quando n tende ao infinito) à:
[img]

[/img]
RES:d(2+raiz de 2)

por mcgiorda Ter 10 maio 2011, 21:43

Bem simples:

As áreas formam uma PG com razão entre -1 e 1, portanto -1 < q < 1.
Para isso, aplica-se a fórmula:

$\frac{a_{1}}{1-q}$

A área do primeiro circulo é dada por:
$A_{0}=\pi\left ( d/2 \right )^{2}={\color{Blue} \frac{\pi d^{2}}{4}}$

A área do segundo é metade de A0:
$A_{1}=\frac{A_{0}}{2}$

mas a área do segundo também é dada por:
$A_{1}=\pi \left (\frac{d_{1}}{2} \right )^{2}$

Igualando:
$\pi \left (\frac{d_{1}}{2} \right )^{2}=\frac{\pi \left (\frac{d}{2}^{2} \right )}{2}$

$\frac{(d_{1})^{2}}{4}=\frac{(d)^{2}}{16}\rightarrow (d_{1})^{2}=\frac{(d)^{2}}{4}\rightarrow d_{1}={\color{Blue} \frac{d\sqrt{2}}{2}}$

Portanto

$\large q={\color{Blue} \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Na fórmula:

$\frac{d_{1}}{1-q}$

$\large S_{n}=\frac{d_{1}}{1-q}=\frac{d}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=d\left ( \frac{2}{2-\sqrt{2}} \right ){\color{Red} \left ( \frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} \right )}={\color{Blue} d(2+\sqrt{2})}$

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