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Inducao Completa

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PiR2 :: Matemática :: Álgebra

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Mensagem por Ronaldo Miguel Qua 02 Ago 2017, 17:52

Demonstre aplicando o principio de inducao completa:

O termo enesimo de uma progressao aritmetica se determina segundo a formula:

an=a1+(n-1)*d

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Inducao Completa Empty Re: Inducao Completa

Mensagem por Victor011 Qui 03 Ago 2017, 07:25

\\\bullet\;\text{base indutiva:}\;(n=1)\\\\a_1=a_1+(1-1).r\;\to\;a_1=a_1\;(\text{vale para }n=1)\\\\\bullet\;\text{hip\'otese indutiva:\;(vamos supor que vale para um n=k)}\\\\a_k=a_1+(k-1).r\\\\\bullet\;\text{passo indutivo: (mostrar que tem que valer para n=k+1)}\\\\\text{da defini\c{c}\~ao de PA:}\\\\a_{k+1}=a_k+r\\\\a_{k+1}=a_1+(k-1).r+r\\\\a_{k+1}=a_1+k.r\;\text{(vale para n=k+1)}\\\\\text{logo, pelo princ\'ipio de indu\c{c}\~ao finita, a f\'ormula \'e v\'alida}\;\forall\;n\in\mathbb{N}.
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Inducao Completa Empty Re: Inducao Completa

Mensagem por Ronaldo Miguel Qui 03 Ago 2017, 14:41

Muito obrigado. Gostaria de saber como seria se fosse a formula de P.G

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Inducao Completa Empty Re: Inducao Completa

Mensagem por Victor011 Qui 03 Ago 2017, 20:55

\\\text{f\'ormula do termo geral da PG:}\;a_n=a_1.q^{n-1}\\\\\bullet\;\text{base indutiva:}\;(n=1)\\\\a_1=a_1.q^{1-1}\;\to\;a_1=a_1\;(\text{vale para }n=1)\\\\\bullet\;\text{hip\'otese indutiva:\;(vamos supor que vale para um n=k)}\\\\a_k=a_1.q^{k-1}\\\\\bullet\;\text{passo indutivo: (mostrar que tem que valer para n=k+1)}\\\\\text{da defini\c{c}\~ao de PG:}\\\\a_{k+1}=a_k.q\\\\a_{k+1}=a_1.q^{k-1}.q\\\\a_{k+1}=a_1.q^{k}\;\text{(vale para n=k+1)}\\\\\text{logo, pelo princ\'ipio de indu\c{c}\~ao finita, a f\'ormula \'e v\'alida}\;\forall\;n\in\mathbb{N}.
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Inducao Completa Empty Re: Inducao Completa

Mensagem por Ronaldo Miguel Qui 03 Ago 2017, 21:13

E termina por ai nao ha mais nada a desenvolver?

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Mensagem por Victor011 Qui 03 Ago 2017, 22:09

Sim. A indução funciona como uma "receita de bolo", e é muito útil para provar fórmulas que estão em função de um "n" natural. A ideia é que ela funcional como um efeito dominó, mostrando que se vale para um número natural, vale também para o seu sucessor. Em outras palavras, se vale para o 1, vale também para o 2, e para o 3, para o 4,... Com isso, a indução "varre" todos o conjunto dos naturais, mostrando que a fórmula é válida para todo n natural.
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