centróide e inércia do perfil L
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centróide e inércia do perfil L
por wandersonrozales Sáb 19 Jan 2013, 11:57
Com base no perfil L abaixo assinale a alternativa CORRETA que apresenta o centroide e os Momentos de Inércia com relação aos eixos principais, x e y.
| CG ( 2 cm; 3 cm); Ix = 60 cm4 e Iy = 130 cm4 | |
| CG ( 3 cm; 2 cm); Ix = 136 cm4 e Iy = 64 cm4 | |
| CG ( 3 cm; 2 cm); Ix = 45 cm4 e Iy = 100 cm4 | |
| CG ( 3 cm; 2 cm); Ix = 60 cm4 e Iy = 120 cm4 | |
| CG ( 3 cm; 2 cm); Ix = 64 cm4 e Iy = 136 cm4 |
wandersonrozales- Iniciante
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Re: centróide e inércia do perfil L
por Euclides Sáb 19 Jan 2013, 13:53
O centro de massa
quanto aos momentos de inércia que dimensionalmente são dados por kg.m² (ML²), estou estranhando a unidade em cm4. Não está informada a massa ou densidade superficial do elemento.
quanto aos momentos de inércia que dimensionalmente são dados por kg.m² (ML²), estou estranhando a unidade em cm4. Não está informada a massa ou densidade superficial do elemento.
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Fórmula do Centro de massa da figura em L de lados igua
por rafaeljsm Ter 20 Abr 2021, 14:03
Posso fazer a demonstração com mais detalhe, mas devido ao tempo podes aplicar a fórmula:
Como a figura é siméttica, o x e y tem a mesma grandeza.
Como a figura é siméttica, o x e y tem a mesma grandeza.
rafaeljsm- Iniciante
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Nesta forma fica mais organizado
por rafaeljsm Ter 20 Abr 2021, 14:36
[latex]x_{cm} = y_{cm}= \frac{L(L-e)}{2(2L-e)}+\frac e 2[/latex]
rafaeljsm- Iniciante
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Solução Completa
por rafaeljsm Ter 20 Abr 2021, 21:35
Começa calculando o centro de massa pela expressão:
Sendo [latex]L \text{ e } e [/latex] respectivamente o comprimento do lado e a espessura da seção em L.
[latex]A_1=Le \text{ , } x_1=\frac L2 \text{ , } y_1=\frac e2 \\ A_2=L(L-e) \text{ , } x_2=\frac e2 \text{ , } y_1=\frac e2 \\ x_{cm}=\frac{(A_1 \cdot x_1+A_2 \cdot x_2)}{A_1+A_2}[/latex]
Expressão que chega a:
[latex]x_{cm} = y_{cm}= \frac{L(L-e)}{2(2L-e)}+\frac e 2[/latex]
Pelo eixo de simetria o [latex]x_{cm} = y_{cm}[/latex]
Agora Calculando os momentos de Inércia:
[latex] I_{x_1}=\frac{Le^3}{12}, \text{ } I_{x_2}=\frac{e(L-e)^3}{12} \\ I_{y_1}=\frac{eL^3}{12}, \text{ } I_{y_2}=\frac{(L-e)e^3}{12} [/latex]
A distância entre os centros de gravidade dos retangulos e da seção em L é igual a :
[latex]d_1=x_{cm}-\frac e2 = \frac{L(L-e)}{2(2L-e)} \\ d_2=y_2-x_{cm} \\ I_c=I_{x_1}+I_{x_2}+d^2\cdot(Le+(L-e)e) \\ [/latex]
Simplificando a expressão acima, temos:
[latex]I_c=\frac{e \left(10 L^{3} e + 6 L e^{3}- 5 L^{4} - 11 L^{2} e^{2} - e^{4}\right)}{12 \left(e- 2 L)\right)} [/latex]
Aplicando a questão acima:
L=6cm
e=2cm
[latex]Ic=57,86cm^4 [/latex]
[latex]x_cm=y_cm=2,2 [/latex]
Depois de ter resolvido tudo que notei que os lados não são iguais.
Sendo [latex]L \text{ e } e [/latex] respectivamente o comprimento do lado e a espessura da seção em L.
[latex]A_1=Le \text{ , } x_1=\frac L2 \text{ , } y_1=\frac e2 \\ A_2=L(L-e) \text{ , } x_2=\frac e2 \text{ , } y_1=\frac e2 \\ x_{cm}=\frac{(A_1 \cdot x_1+A_2 \cdot x_2)}{A_1+A_2}[/latex]
Expressão que chega a:
[latex]x_{cm} = y_{cm}= \frac{L(L-e)}{2(2L-e)}+\frac e 2[/latex]
Pelo eixo de simetria o [latex]x_{cm} = y_{cm}[/latex]
Agora Calculando os momentos de Inércia:
[latex] I_{x_1}=\frac{Le^3}{12}, \text{ } I_{x_2}=\frac{e(L-e)^3}{12} \\ I_{y_1}=\frac{eL^3}{12}, \text{ } I_{y_2}=\frac{(L-e)e^3}{12} [/latex]
A distância entre os centros de gravidade dos retangulos e da seção em L é igual a :
[latex]d_1=x_{cm}-\frac e2 = \frac{L(L-e)}{2(2L-e)} \\ d_2=y_2-x_{cm} \\ I_c=I_{x_1}+I_{x_2}+d^2\cdot(Le+(L-e)e) \\ [/latex]
Simplificando a expressão acima, temos:
[latex]I_c=\frac{e \left(10 L^{3} e + 6 L e^{3}- 5 L^{4} - 11 L^{2} e^{2} - e^{4}\right)}{12 \left(e- 2 L)\right)} [/latex]
Aplicando a questão acima:
L=6cm
e=2cm
[latex]Ic=57,86cm^4 [/latex]
[latex]x_cm=y_cm=2,2 [/latex]
Depois de ter resolvido tudo que notei que os lados não são iguais.
rafaeljsm- Iniciante
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Re: centróide e inércia do perfil L
por rafaeljsm Ter 20 Abr 2021, 22:29
Começa calculando o centro de massa pela expressão:
Sendo [latex]L \text{ , } e \text{ e } l[/latex] respectivamente o comprimento do lado e a espessura da seção em L.
[latex]A_1=Le \text{ , } x_1=\frac L2 \text{ , } y_1=\frac e2 \\ A_2=l(l-e) \text{ , } x_2=\frac e2 \text{ , } y_1=\frac {l+e}2 \\ x_{cm}=\frac{(A_1 \cdot x_1+A_2 \cdot x_2)}{A_1+A_2}[/latex]
Expressão que chega a:
[latex]x_{cm}=\frac{\frac{L^{2}}{2} - \frac{e \left(e - l\right)}{2}}{L - e + l}[/latex]
[latex]y_{cm}=\frac{\frac{L e}{2} - \frac{\left(e - l\right) \left(e + l\right)}{2}}{L - e + l}[/latex]
A última alternativa é a correta
Agora Calculando os momentos de Inércia:
[latex] I_{x_1}=\frac{Le^3}{12}, \text{ } I_{x_2}=\frac{e(l-e)^3}{12} \\ I_{y_1}=\frac{eL^3}{12}, \text{ } I_{y_2}=\frac{(l-e)e^3}{12} [/latex]
Aplicando a questão acima:
L=8cm
l=6cm
e=2cm
[latex]A_1=8\cdot 2 =16cm^2\\ x_1=4cm \\ y_1= 1cm \\ \\ A_2=4\cdot 2 =8cm^2\\ x_2=1cm \\ y_2= 4cm \\ \\ x_{cm}=\frac {A_1\cdot x_1+A_2\cdot x_2}{A_1+A_2}=\frac {16\cdot 4+8\cdot 1}{16+8}=3 \\\\ y_{cm}=\frac {A_1\cdot y_1+A_2\cdot y_2}{A_1+A_2}=\frac {16\cdot 1+8\cdot 4}{16+8}=2 \\\\ I_x_1=\frac{L\cdot e^3}{12}=5,33[/latex]
[latex]I_y_1=\frac{e\cdot L^3}{12} =85,33\\\\ I_x_2=\frac{e\cdot (l-e)^3}{12} = 10,66\\\\ I_y_2=\frac{(l-e)\cdot e^3}{12} = 2,66\\\\ I_c_x=I_x_1+I_x_2+(y_1-y_{cm})^2A1+(y_2-y_{cm})^2)A2=64,0\\\\ I_c_y=I_y_1+I_y_2+(x_1-x_{cm})^2A1+(x_2-x_{cm}^2)A2=136,0\\\\[/latex]
Sendo [latex]L \text{ , } e \text{ e } l[/latex] respectivamente o comprimento do lado e a espessura da seção em L.
[latex]A_1=Le \text{ , } x_1=\frac L2 \text{ , } y_1=\frac e2 \\ A_2=l(l-e) \text{ , } x_2=\frac e2 \text{ , } y_1=\frac {l+e}2 \\ x_{cm}=\frac{(A_1 \cdot x_1+A_2 \cdot x_2)}{A_1+A_2}[/latex]
Expressão que chega a:
[latex]x_{cm}=\frac{\frac{L^{2}}{2} - \frac{e \left(e - l\right)}{2}}{L - e + l}[/latex]
[latex]y_{cm}=\frac{\frac{L e}{2} - \frac{\left(e - l\right) \left(e + l\right)}{2}}{L - e + l}[/latex]
A última alternativa é a correta
Agora Calculando os momentos de Inércia:
[latex] I_{x_1}=\frac{Le^3}{12}, \text{ } I_{x_2}=\frac{e(l-e)^3}{12} \\ I_{y_1}=\frac{eL^3}{12}, \text{ } I_{y_2}=\frac{(l-e)e^3}{12} [/latex]
Aplicando a questão acima:
L=8cm
l=6cm
e=2cm
[latex]A_1=8\cdot 2 =16cm^2\\ x_1=4cm \\ y_1= 1cm \\ \\ A_2=4\cdot 2 =8cm^2\\ x_2=1cm \\ y_2= 4cm \\ \\ x_{cm}=\frac {A_1\cdot x_1+A_2\cdot x_2}{A_1+A_2}=\frac {16\cdot 4+8\cdot 1}{16+8}=3 \\\\ y_{cm}=\frac {A_1\cdot y_1+A_2\cdot y_2}{A_1+A_2}=\frac {16\cdot 1+8\cdot 4}{16+8}=2 \\\\ I_x_1=\frac{L\cdot e^3}{12}=5,33[/latex]
[latex]I_y_1=\frac{e\cdot L^3}{12} =85,33\\\\ I_x_2=\frac{e\cdot (l-e)^3}{12} = 10,66\\\\ I_y_2=\frac{(l-e)\cdot e^3}{12} = 2,66\\\\ I_c_x=I_x_1+I_x_2+(y_1-y_{cm})^2A1+(y_2-y_{cm})^2)A2=64,0\\\\ I_c_y=I_y_1+I_y_2+(x_1-x_{cm})^2A1+(x_2-x_{cm}^2)A2=136,0\\\\[/latex]
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