Questão do quadrado dentro de outro quadrado

por **leozinho** Ter 18 Jul 2017, 05:03

No quadrado ABCD da figura, os pontos M, N, P, Q dividem os respectivos lados ao meio. Os quatro segmentos AQ, BM, CN, DP determinam um quadrado hachurado, como se vê na figura. Se os lados do quadrado ABCD medem a , determine a área do quadrado hachurado.
OBS: A questão não tem alternativas.
https://i.servimg.com/u/f11/19/69/28/13/figura10.jpg

por Castiel Ter 18 Jul 2017, 09:57

Questão do quadrado dentro de outro quadrado Quad10

(ângulos em verde são iguais; ângulos em vermelho são iguais)

Triângulos NBE e ATB semelhantes:

$\frac{AB}{BN} = \frac{BT}{BE}$

$\frac{L}{\frac{L}{2}} = \frac{BT}{m}$

$BT = 2m$

$BT = BE+ET<..> 2m = m + ET<..> ET = m$

Triângulos ABM e ATM semelhantes:

$\frac{MT}{AM} = \frac{AT}{AB}$

$\frac{x}{\frac{L}{2}} = \frac{m}{L}$

$x = \frac{m}{2}$

Pitágoras em ABM

$BM^2 = AB^2 + AM^2$

$BM = \frac{L\sqrt{5}}{2}$

$m + m + \frac{m}{2} = \frac{L\sqrt{5}}{2} <..> m = \frac{L\sqrt{5}}{5}$

Área do quadrado TEGH:

$S = m^2 = (\frac{L\sqrt{5}}{5})^2 = \frac{L^2}{5}$

Questão do quadrado dentro de outro quadrado

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