Trapézio

Divide-se o lado BC de um trapézio em dois segmentos BF e CF , proporcionais a 3 e 2 e, pelo ponto de divisão F, traça-se uma reta EF paralela às bases. Calcular EF , sabendo que AB = 38,5 m e DC = 12,45 m. 

gab:22,87

Vamos fazer para um caso genérico. Eu fiz que AB=a, CD=b, e BF e CF proporcionais a q e p. Essa questão é bem legal, e chegaremos em um resultado interessante. Veja:



A primeira ideia importante que eu usei foi o teorema de Tales, que diz que retas paralelas cortam segmentos em razões iguais, e por isso:

\frac{BF}{FC}=\frac{AE}{ED}=\frac{q}{p}

Depois, a segunda ideia foi traçar os triângulos retângulos em cinza e "juntar" eles. Note que no triângulo formado, AB=a-b. Além disso, chamei EF de k (no triângulo), de modo que que queremos o EF no trapézio, que vale k+b. Fazendo semelhança de triângulos, teremos que:

\\\Delta FC'E\sim\Delta BC'A\\\\\frac{FC'}{BC'}=\frac{FE}{BA}\\\\\frac{p.x}{(p+q).x}=\frac{k}{a-b}\\\\k=\frac{p.(a-b)}{p+q}\\\\Como\;queremos\;EF=k+b:\\\\EF=\frac{p.(a-b)}{p+q}+b\;\to\;\boxed{EF=\frac{a.p+b.q}{p+q}}

Esse resultado é muito legal porque mostra que qualquer segmento interno paralelo as bases será uma média ponderada das mesmas. Para fazer a sua questão, basta fazer a=38,5; b=12,45; p=2; q=3. Veja:

EF=\frac{38,5.2+12,45.3}{2+3}=22,87