Vestibular IFF - 2015.2

Em uma loja estima-se que por semana, se x unidades de um produto são vendidas, o preço
de venda p(x) de cada unidade será dado por . Para o dono da loja,
semanalmente, o preço de custo de cada unidade do mesmo produto é R$ 50,00. Determine
o número de unidades que devem ser vendidas semanalmente para que o lucro do
vendedor seja máximo, sabendo que o lucro é o resultado da receita menos o custo.

Eu consegui achar a função que descreve o lucro, porém o gráfico dessa função é uma hipérbole, que não tem valor máximo, pelo o que eu sei. Alguém pode me ajudar?

• Se x unidades são vendidas e o preço de venda cada unidade é p(x), a "receita" R(x) será:

\\R(x)=x.P(x)\\\\R(x)=-\frac{x^2}{8}+190x-2

• Se x unidades são vendidas e o preço de custa de cada unidade é R$ 50,00, o "custo" C(x) será:

C(x)=50x

• Como o lucro L(x) é o resultado da receita menos o custo, teremos que:

\\L(x)=R(x)-C(x)\\\\L(x)=-\frac{x^2}{8}+140x-2

• Note que a função é uma parábola com concavidade para baixo. Vamos usar a fórmula do X do vértice para encontrar o x que torna o lucro máximo. Para uma função "ax²+bx+c": X_vértice=-b/2a. Logo:

X_v=\frac{-140}{-2.\frac{1}{8}}\\\\\therefore \boxed{X_v=560\;unidades}