(CN - 2006) Produto de dois números reais

O produto de dois números reais x e y é igual a 150. Assim sendo, x+y NÃO pode ser igual a:

A) 31,71
B) 28,27
C) 25,15
D) 24,35
E) -26,94

Minha ideia --> "Como a soma de um número irracional por um racional sempre dá um irracional, posso admitir que x e y são racionais, já que x + y, dadas as opções, são todos números racionais. Também posso dizer que x e y são ambos negativos ou positivos. Posso representar x e y como a divisão de dois números inteiros --> com e diferentes de zero. Se x e y forem positivos, logo o resultado da soma deles será um positivo também... então eu devo procurar alguma coisas na soma de x e y quando ambos forem negativos? (Essa ''coisa'' seria a resposta kkkkk)"




Obs: Não tenho o gabarito, mas os amigos do fórum conhecem bem melhor que eu as provas do CN e conseguem fácil o gabarito na net.

O mestre Elcioshin já resolveu essa questão, só que em outro fórum. Postarei a resolução aqui, com os créditos dele, é claro!


Mestre Elcioshin disse:

a² - (x + y)*a + xy = 0 -----> a² - (x + y)*a + 150 = 0

delta = (x + y)² - 4*1*150 ----> delta = (x + y)² - 600 ----> delta >= 0 ----> (x + y)² - 600 >= 0 ----> (x + y)² >= 600

x + y >= 24,5 (aproximado) ou x + y =< - 24,5

Alternativa D

Estou fascinado com quantas resoluções ,'' só hoje'', de vários problemas diferentes são feitas com essa propriedade da soma e da multiplicação das raízes de um polinômio de segundo grau. Muito obrigado ao mestre Elcioschin e também a você, Agente Esteves.

Abelardo/Agente Esteves

Confesso que nem me lembrava mais de ter resolvido esta questão em outro fórum.
E o pior é que, sem olhar o tópico inteiro e ver a mesagem do Agente Esteves, eu estava tentando reolvê-la.
Deve ser a idade (ahahah).

abelardo escreveu:Estou fascinado com quantas resoluções ,'' só hoje'', de vários problemas diferentes são feitas com essa propriedade da soma e da multiplicação das raízes de um polinômio de segundo grau. Muito obrigado ao mestre Elcioschin e também a você, Agente Esteves.

É mesmo, não é? o.o
Eu fiquei assustada quando percebi isso, é tão óbvio, mas ao mesmo tempo, eu nunca iria pensar nisso. >_<

Só mais uma dúvida. Como a questão diz:''x+y NÃO pode ser igual a:''... foi solucionada usando a propriedade citada por mim, mas qual o significado de x + y não ser 24,5 ou -24,5, já que usou a bhaskara? (Espero que consigam entender ... sou péssimo em perguntas kkk)

Na verdade, o que o Elcioschin fez foi mostrar que, se delta deve ser maior ou igual a zero, então x + y é maior do que 24,5, ou seja, não pode ser 24,35.

Mas eu não sei porque a opção E pode ser um resultado válido. Pode ser porque um desses números possa ser negativo, como quase sempre ocorre em equações do segundo grau de ter uma raiz positiva e outra negativa. Essa ficou em suspense para mim, mas creio que seja por causa disso...

Explicação para a alternativa E ser possível:

Os valores x, y podem ser ambos negativos, já que, neste caso o produto xy é positivo.
Mesmo assim, o módulo de (x + y) deve ser maior do que 24,35

Hola estimado Elcio.

Essa é uma questão do Colégio Naval-2006 Equação do Segundo Grau.
Vou colocar um pouco de lenha nessa discussão, veja duas soluções de 31/dez/2006:

1.ª) Por Tahles Gheós:

x*y = 150
x + y = s

das duas equações sai:

y² - ys+150=0 em que ∆ = s² - 600

para que y seja Real impõe-se que ∆ ≥ 0

s² ≥ 600 ⇒ |s|≥ 24,49 o que exclui a alternativa d.

Então eu perguntei naquela ocasião:

Hola Thales.

Se exclui a alternativa d, qual seria a sua resposta?

No que Thales respondeu:

Caro Paulo Testoni,

o exercício pedia que fosse encontrada uma alternativa que NÃO servisse como solução. Foi o que fiz. A questão, colocada como está, tem infinitos pares (x,y) que satisfazem o sistema. Creio que não há o que escolher entre as alternativas, já que todas elas satisfazem o sistema:

y= [s ± √(s² - 600)]/2

para s=31,71 ⇒ y=25,93 e x=5,78 ⇒ x.y=150

para s=28,27 ⇒ y=21,19 e x=7,08 ⇒ x.y=150

para s=25,15 ⇒ y=15,43 e x=9,73 ⇒ x.y=150

para s=-26,94 ⇒ y=-19,075 e x=-7,865 ⇒ x.y=150

abraço,

bom Ano Novo!

Cntinuando.........

Então eu retruquei:

2.ª) veja a solução de Burns123:

xy = 150

Se eu elevar um número ao quadrado ele sempre será ≥ 0

Como queremos saber quanto x+y não pode ser, temos que fazer isso aparecer de alguma forma.

Então:

(√x + √y)² > 0 (temos um quadrado perfeito)
x + 2*√x*√y + y > 0
x + y > - 2*√x*√y
x + y > - 2*√(x*y)
x + y > - 2*√150
x + y > - 2 *5*√6, (√6 ≈ 2,44)
x + y > - 2*5*2,44
x + y > - 10*2,44
x + y > - 24,4; então x + y não pode ser - 26,94

Resposta: alternativa e