Simplificação de radicais

Caros, uma colega e eu tentamos chegar a solução da simplificação da expressão abaixo, porém o resultado indicado no gabarito parece exigir uma excelente habilidade com álgebra, a qual ainda não tenho. Poderiam, por favor, nos ajudar demonstrando os caminhos para simplificar até o resultado sugerido?

[2 + √3]÷[√2 + √(2+√3)] + [2 - √3]÷[√2 - √(2 - √3)]

Gabarito: √2

Aqui começa a nossa equação: 



Teríamos certo trabalho com MMC aqui mas podemos fazer uma simplificação bem interessante para o problema em questão.

Multiplicando e subtraindo uma equação pelo mesmo valor não altera em nada, pois é o mesmo que multiplicar por 1. Exatamente aqui podemos fazer isso:



Conseguimos chegar a um produto notável, assim:



Podemos aplicar isso tanto ao sinal negativo quanto ao positivo em questão:





Deixando 1/V2 em evidência e já racionalizado, assim como simplificado com o 2:



Continuando, podemos multiplicar cada termo por um número x/x pois é o mesmo que multiplicá-lo por 1, então não o alterará. Basta realizarmos a racionalização naturalmente agora:

[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?(\frac{[2+\sqrt{3}][3-\sqrt{3}]}{6}+\frac{[2-\sqrt{3}][3+\sqrt3]}{6})(\sqrt2)[/img]

[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?(\frac{[3+\sqrt{3}]+[3-\sqrt3]}{6})(\sqrt2)[/img]