ITA Razão e proporção

por Thiago Casanova Ter 23 maio 2017, 03:49

ITA - SP) Há muito tempo, quando poucas pessoas eram versadas na arte de contar, houve uma grande tempestade no oceano. Um navio colhido pelo tufão, foi salvo graças ao trabalho excepcional de dois marinheiros. Terminada a borrasca, o capitão, decidido a recompensar seus dois comandados pelo serviço bem executado anunciou que dividiria entre eles no dia seguinte o conteúdo de um pequeno baú com moedas de ouro, tendo encarregado o seu imediato desta tarefa. Acontece que os dois marinheiros eram muito amigos e, querendo evitar o constrangimento de uma partilha pública, um deles teve a idéia, na madrugada, de pegar a sua parte do prêmio. Indo ao baú, este marinheiro separou as moedas em dois grupos idênticos e, para surpresa sua, sobrou uma moeda. Não sabendo como proceder, jogou-a no mar para agradecer aos deuses a sua sobrevivência e pegou a parte que lhe cabia. Porém, mais tarde, o segundo marinheiro teve a mesma idéia. Indo ao baú, ele separou as moedas em dois grupos iguais e, para sua surpresa, sobrou uma moeda. Jogou-a ao mar como agradecimento pela sorte e tomou a parte que lhe cabia da recompensa. Pela manhã, os dois marinheiros se sentiram constrangidos em comunicar o procedimento noturno. Assim, o imediato separou as moedas do baú em dois grupos e verificou que sobrava uma. Deu a cada um dos marinheiros a sua parte do prêmio e tomou para si a moeda restante como pagamento pelos seus cálculos. Sabendo-se que a razão entre as moedas ganhas pelo primeiro marinheiro e pelo segundo marinheiro foi de 29/17, então o número de moedas que havia originalmente no baú era:
A) 99
B) 95
C) 135
D) 87
E) 78

Gab: B

por **Victor011** Ter 23 maio 2017, 07:45

Vamos dividir a questão em 3 processos de separação. Supondo que a quantidade inicial de moedas era 2x+1. após a primeira separação:
x moedas ficam com o primeiro marinheiro, x moedas ficam no baú e 1 moeda é jogada fora.
Agora, vamos considerar que x possa escrito da forma x=2k+1. Após a segunda separação, que ocorre com as x moedas que ficaram no baú:
k moedas ficam com o segundo marinheiro, k moedas ficam no báu e 1 moeda é jogada fora.
Agora, vamos considerar que k possa ser escrito da forma k=2z+1. Após a terceira (e última) separação, que ocorre com as k moedas que ficaram no baú:
z moedas ficam com o primeiro marinheiro, z moedas ficam com segundo marinheiro e 1 moeda é jogada fora.
Note que :

\begin{cases}x=2k+1\rightarrow k=\frac{x-1}{2}\\ k=2z+1\rightarrow z=\frac{k-1}{2}=\frac{x-3}{4}\end{cases}

Vamos olhar agora para a quantidade de moedas final dos marinheiros 1 e 2:

Q_1=x+z=x+\frac{x-3}{4}=\frac{5x-3}{4}

Q_2=k+z=\frac{x-1}{2}+\frac{x-3}{4}=\frac{3x-5}{4}

porém, do enunciado, sabemos que:

\frac{Q_1}{Q_2}=\frac{29}{17}\rightarrow \frac{5x-3}{3x-5}=\frac{29}{17}

2x=94

\text{quantidade inicial de moedas:}\boxed{Q=2x+1=95}

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