Colégio Naval - Eq. Segundo Grau

por Kowalski Sex 28 Abr 2017, 23:10

As raízes da eq. ax² + bx + c = 0 são iguais a m e n. Assinale a eq. cujas raízes são m³ e n³
a) a³x² - b(3ac + b²)x + c³ = 0
b)ax² - b(3ac - b²)x + c = 0
c)a³x² + b(b²-3ac)x + c = 0
d)a³x² + b(b²-3ac)x - c³ = 0
e)a³x² + b(b²-3ac)x + c³ = 0

Resolução:

$Colégio Naval - Eq. Segundo Grau Gif$

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Como sabemos que:
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Então temos:
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eu não entendi essa parte (x-m³)(x-n³) ele usou a fórmula do trinômio do segundo grau mas como sabemos que o a vale 1?

por FiloParga Sáb 29 Abr 2017, 14:25

Olá, Kowalski.

A resolução não assume que a = 1 . Admite apenas que a ≠ 0 e trabalha algebricamente com o parâmetro a .

Nas últimas duas linhas, por exemplo, tira o mmc e elimina o denominador, pois é o numerador que deve ser nulo.

Vou tentar mandar outra resolução para você.

Abraço.

por **Elcioschin** Sáb 29 Abr 2017, 14:42

Um modo diferente, na 1ª parte:

a.x² + b.x + c = 0 ---> Raízes m, n ---> Usando Girard:

m.n = c/a ---> I

m + n = - b/a ---> (m + n)² = (-b/a)² ---> m² + n² + 2.(m.n) = b²/a² --->

m² + n² + 2.c/a = b²/a² ---> m² + n² = (b² - 2.a.c)/a² ---> II

Nova equação: A.x² + B.x + C ---> Raízes m³, n³

m³ + n³ = - B/A ---> (m + n).(m² + n² - m.n) = -B/A

(-b/a).[(b² - 2.a.c)/a² - c/a)] = - B/A ---> simplifique e calcule B/A

m³.n³ = C/A ---> (m.n)³ = C/A ---> (c/a)³ = C/A ---> C/A = c³/a³

por FiloParga Sáb 29 Abr 2017, 15:08

Vejamos, Kowalski.

Como m e n são as raízes da equação , temos que m + n = -b/a e m . n = c/a .

Desenvolvendo (m + n)^3 , temos:

(m + n)^3 = (-b/a)^3 = m^3 +3.(m^2).n + 3.m.(n^2) + n^3 ⇒ (-b^3)/a^3 = m^3 + 3.m.c/a + 3.n.c/a + n^3 ⇒

⇒ m^3 + n^3 = (-b^3)/a^3 - (3c/a)(m+n) ⇒ m^3 + n^3 = (-b^3)/a^3 - (3c/a).(-b/a) ⇒

⇒ m^3 + n^3 = (-b^3)/a^3 + 3.b.c/a^2 ⇒ m^3 + n^3 = (-b^3 + 3.a.b.c)/a^3 (soma das raízes m^3 e n^3)

Lembrando que m . n = c/a ⇒ m^3 . n^3 = c^3/a^3 (produto das raízes m^3 e n^3)

Assim, a equação que tem m^3 e n^3 como raízes seria:

(a^3).x^2 + (b^3 - 3.a.b.c)x + c^3 = 0 ⇒ (a^3).x^2 + b.(b^2 - 3.a.c)x + c^3 = 0 ⇒

⇒ (a^3).x^2 + (b^2 - 3.a.c).bx + c^3 = 0

Espero ter ajudado.

Abraços.

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