Circulo inscrito no triangulo

o círculo inscrito em um triângulo tem raio 4cm e divide um dos lados em seguimentos de comprimentos 6cm e 8cm o menor lado do triangulo mede?

12

Não sei se a resposta é 12 ou 13, mas está aí kk


.

Porque pensei em 12 ?
Vamos agd as opiniões de outros clgs .


Obs: a altura não pode ser calculada no triâng. ret AHC.
Quando dado o raio e um lado de um triâng. isóceles a altura deve ser calculada fazendo a semelhança.

raimundo pereira escreveu:Porque pensei em 12 ?
Vamos agd as opiniões de outros clgs .


Obs: a altura não pode ser calculada no triâng. ret AHC.
Quando dado o raio e um lado de um triâng. isóceles a altura deve ser calculada fazendo a semelhança.

Realmente a sua solução é a correta, criei (no GeoGebra) um triângulo isósceles de lados 12, 14 e 14 e a circunferência inscrita dividiu um dos lados iguais em segmentos de 8 e 6 u.c. (fiz a recíproca), portanto, a resposta é 12. Resta-nos entender por que o triângulo escaleno não é o da resolução, ou então, por que a resolução com o triângulo escaleno (que generaliza todos os triângulos) não funcionou.

Obs.: Me faltou um detalhe, a resposta do Raimundo realmente não está certa, pois o raio da circunferência inscrita no triângulo isósceles de lados 12, 14 e 14 não é 4, portanto a semelhança feita é inválida.

Raimundo,

considero que a resolução do colega Axell é a geral (vale para qualquer caso) e está correta.

Se queremos considerar um triângulo isósceles (um caso particular) naquelas dimensões, precisamos primeiro garantir que a circunferência inscrita exista com raio r=4.

Suponhamos esse triângulo com as dimensões que você propõe e vamos calcular o raio.
h = altura do triâng. ABC
r = raio da circunferência inscrita

triâng.s semelhantes -----> r/6 = (h - r)/(8 + 6)  ----->  r = (3/10).h

triâng. AHC é retângulo -----> h² = 14² - 6²  ----->  h² = 160  -----> h = 4√10 =~ 12,6

.:. r = (6/5).√10 =~ 3,8  <  4 ............... logo a circunf. de raio 4 não cabe nesse triâng. ou, por outro lado, se
aumentamos o raio para 4 temos que aumentar pelo menos dois dos lados -- neste caso o aumento foi de 1.

________________________________________________

Axell,

você mandou o Geogebra inscrever uma circunferência; por favor verifique qual o raio dela.

Vejam como eu pensei:
Não calculei a altura como fez o  amigo Medeiros , pq vi pelo meu desenho essa altura pode ser obtida aplicando Pitágoras em AHC, ou seja AH=V160=12,6
Mas, para esse triâng. circunscrito, sua área é: 
S= 12 . 12,6/2=75,6 , entretanto, a  área de um triâng. circunscrito a um círculo é dada por S=p.r  (veja demonstração) , e assim temos que a área mede  S=p.r=20.4=80
diferente de 75,6.
Contudo , se vc calcula altura de ABC fazendo a semelhança como eu fiz , condicionando que o raio divida o lado do modo proposto no enunciado,  implicitamente vc está procurando o triângulo circunscrito que satisfaça aquela condição.
Assim, penso que o Axell constatou esse fato no soft do Geogebra corretamente.
Vamos agd a resposta .
Achei os cálculos algébricos para resolução de um triâng. qq um pouco confuso para minha cabeça.
Penso até, que só com os dados no enunciado não consigamos resolver esse problema para um triâng. qq.

Obs:
Se considerar o triâng. qq ,com x=7,  ( pelos cáculos do Axell).
Calculando a área desse triâng. usando a fórmula-->h= 2. V(p(p-a).(p-b).(p-c)/c
sendo essa altura referente ao lado (c) , 6+7=13 , vamos obter para a área um valor maior que 80.

:cyclops:

Medeiros escreveu:Raimundo,

considero que a resolução do colega Axell é a geral (vale para qualquer caso) e está correta.

Se queremos considerar um triângulo isósceles (um caso particular) naquelas dimensões, precisamos primeiro garantir que a circunferência inscrita exista com raio r=4.

Suponhamos esse triângulo com as dimensões que você propõe e vamos calcular o raio.
h = altura do triâng. ABC
r = raio da circunferência inscrita

triâng.s semelhantes -----> r/6 = (h - r)/(8 + 6)  ----->  r = (3/10).h

triâng. AHC é retângulo -----> h² = 14² - 6²  ----->  h² = 160  -----> h = 4√10 =~ 12,6

.:. r = (6/5).√10 =~ 3,8  <  4 ............... logo a circunf. de raio 4 não cabe nesse triâng. ou, por outro lado, se
aumentamos o raio para 4 temos que aumentar pelo menos dois dos lados -- neste caso o aumento foi de 1.

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Axell,

você mandou o Geogebra inscrever uma circunferência; por favor verifique qual o raio dela.

Desculpe-me por esse descuido, realmente verifiquei agora que o raio da circunferência tem valor 3,79 u.c. então a resposta do Raimundo está incorreta, a circunferência realmente divide os lados em segmentos de 8 e 6, mas não tem o raio do enunciado.

raimundo pereira escreveu:Vejam como eu pensei:
Não calculei a altura como fez o  amigo Medeiros , pq vi pelo meu desenho essa altura pode ser obtida aplicando Pitágoras em AHC, ou seja AH=V160=12,6
Mas, para esse triâng. circunscrito, sua área é: 
S= 12 . 12,6/2=75,6 , entretanto, a  área de um triâng. circunscrito a um círculo é dada por S=p.r  (veja demonstração) , e assim temos que a área mede S=p.r=20.4=80
diferente de 75,6.
Contudo , se vc calcula altura de ABC fazendo a semelhança como eu fiz , condicionando que o raio divida o lado do modo proposto no enunciado,  implicitamente vc está procurando o triângulo circunscrito que satisfaça aquela condição.
Assim, penso que o Axell constatou esse fato no soft do Geogebra corretamente.
Vamos agd a resposta .
Achei os cálculos algébricos para resolução de um triâng. qq um pouco confuso para minha cabeça.
Penso até, que só com os dados no enunciado não consigamos resolver esse problema para um triâng. qq.

Obs:
Se considerar o triâng. qq ,com x=7,  ( pelos cáculos do Axell).
Calculando a área desse triâng. usando a fórmula-->h= 2. V(p(p-a).(p-b).(p-c)/c
sendo essa altura referente ao lado (c) , 6+7=13 , vamos obter para a área um valor maior que 80.

:cyclops:

O problema na sua resolução pelo que vi é que você já pressupôs que os triângulos AOD e AHC são semelhantes, mas isso não ocorre em um triângulo qualquer, se você olhar para o meu triângulo seria impossível fazer essa semelhança, o seu caso só ocorre em triângulos isósceles, portanto, se quisesse partir de um triângulo isósceles deveria provar antes que as condições do enunciado continuam valendo para ele. (Só para constar, a área do triângulo da minha resolução é 84)

Os cálculos ficaram mais confusos porque eu os fiz calculando naturalmente, não usei calculadoras ou coisas do tipo, eu sabia que x teria pelo menos um valor inteiro então fui levando as multiplicações de forma que tudo fosse simplificado no final e, além disso, fui direcionando o coeficiente c para que já ficasse pronto para usar "Soma e Produto" (não é atoa que não tive esforço para achar as raízes).

Depois até percebi que daria pra ter ficado melhor se eu tivesse lembrado da fórmula S = p*r porque já iria cortar umas coisas.

Axell,

O triângulo isósceles circunscrito a um círculo de raio 4 existe sim :
Ele tem altura 13,333 e base 12 .
S=b.h/2 ---.(13,333 . 12)/2=79,990
S=p.r 20.2=80
Por outro lado constato também que existe um triâng. de lados 14, 13,  e 15 , circunscrito a um círculo de raio 4 .
hc= 2 .Vp.(p-a).(p-b).(p-c)/c---> hc=84.2/(6+7)=12,923
SABC = 12,923.13/2=83,999
SABC --> p.r = 21.4=84
Como o enunciado não diz qual a natureza de ABC eu optei pelo isósceles.
Minha colaboração para esse tema encerra aqui. Vou agd a resposta .
Agradeço a todos pelo interesse e a colaboração . grt

raimundo pereira escreveu:Axell,
Eu acho que não me fiz entender.
O triângulo isósceles circunscrito a um círculo de raio 4 existe sim :
Ele tem altura 13,333 e base 12 . Pode plotar esse dados no Geogebra que vai vai vê-lo.
S=b.h/2 ---.(13,333 . 12)/2=79,990
S=p.r 20.2=80
Minha colaboração para esse tema encerra aqui. Vou agd a resposta .
Agradeço a todos pela colaboração .

Fiz a situação que descreveu e encontrei 3,88 para o valor do raio, verifique os dados na imagem (s e t são bissetrizes):



Os lados deixaram de ter valor 14 para ter valor 14,62 e a circunferência deixou de dividir o lado em segmentos de comprimento 8 e 6, realmente o triângulo existe, mas não é o que o enunciado propôs.