incentro

por naval@@ Ter 28 Mar 2017, 00:20

No triângulo ABC de lados a,b e c e semi perímetro p. Qual a distância do vértice A ao incentro do triângulo?

a) raizde(p-a)bc/p
b) raizde(p-b)ac/p
c) raizde(p-c)ab/p
d) raizdeabc/p
d)raizdeabc/2p

por **petras** Sáb 08 Abr 2017, 11:24

Compartilho a solução do colega "undefinied3"

Considere a bissetriz saindo de A que divide o lado a nos segmentos m e a-m. Seja P esse ponto de interseção com BC. Pelo teorema da bissetriz:

\frac{b}{m}=\frac{c}{a-m} \rightarrow cm=ab-bm \rightarrow m=\frac{ab}{b+c}

Considere a bissetriz saindo de C, ela irá cortar AP em Q. Aplicando teorema da bissetriz novamente;

\frac{b}{n}=\frac{m}{p} \rightarrow \frac{b}{m}=\frac{n}{p} \rightarrow \frac{b}{b+m}=\frac{n}{x}

\therefore n=\frac{bx}{b+m}=x.\frac{b}{b+\frac{ab}{b+c}}=x.\frac{b^2+bc}{b^2+bc+ab}=x.\frac{b+c}{a+b+c}

Usando Stewart pra calcular o tamanho da bissetriz, ou seja, n+p.

b^2(a-m)+c^2m=a(x^2+m(a-m))

\frac{b^2(a-m)+c^2m}{a}-am+m^2=x^2

b^2-\frac{b^2m}{a}+\frac{c^2m}{a}-am+m^2=x^2

b^2-\frac{b^3}{b+c}+\frac{bc^2}{b+c}-\frac{a^2b}{b+c}+\frac{a^2b^2}{(b+c)^2}=x^2

Desenvolvendo e reduzindo os termos semelhantes, obtemos:

x^2=\frac{bc(b+c-a)(a+b+c)}{(b+c)^2}

Portanto:

n=\frac{\sqrt{bc(b+c-a)(a+b+c)}}{b+c}.\frac{b+c}{a+b+c}=\sqrt{\frac{(bc)(b+c-a)}{a+b+c}}=\sqrt{\frac{bc(p-a)}{p}}

incentro 2nuqgxs

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