Geometria e números complexos

Olá, proceda da seguinte maneira:



Resolvendo essa equação irracional (isolando os termos com raiz e elevando ambos os membros da equação ao quadrado) chegamos na seguinte equação:



Que representa a equação de uma elipse com centro na origem, eixo maior igual a 6 e eixo menor 2√5:



Na b é análogo à A, pede-se a figura que irá satisfazer a inequação menor ou igual a zero.



Toda a área da figura hachurada satisfaz a inequação. Qualquer etapa que eu pulei e você não entendeu é só responder. Abraços.

Pedro Prado escreveu:Represente, no plano de Argand-Gauss, os complexos tais que:


a) |Z+2|+|Z-2|=6
b) |Z+2|+|Z-2|≤6

Willian, parabéns pela excelente resolução. (Você apenas cometeu um deslize ao tomar a medida do eixo menor.)
Vou dar uma outra, como alternativa, apenas para fins de enriquecimento do tópico.
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Sabemos que o número complexo
z = (a, b) = a + bi
é identificado no plano de Argand-Gauss pelo ponto de coordenadas (a, b).
Da mesma forma, o vetor v = (a, b) é identificado com um segmento orientado de origem (0, 0) e extremidade (a, b).
Verifica-se que, se fizermos uma correspondência biunívoca entre o conjunto \mathbb{C} dos números complexos e o conjunto \mathbb{R}^2 dos vetores do plano, as relações de adição (subtração consequentemente), multiplicação por número real e módulo são preservadas.
Quanto à soma de números complexos, observe a ilustração abaixo (retirada da internet):

Essa representação vetorial, além de ser uma boa forma de entender os números complexos, é extremamente útil na resolução de problemas tanto de Complexos quanto de Geometria Analítica.
Observe que, neste caso, o módulo da diferença entre dois complexos é a distância entre seus afixos no plano:

Algebricamente:
\\ z = a + bi \\ w = c + di \\ |z-w| = |(a+bi)-(c + di)| = |(a-c)+(b-d)i| = \sqrt{(a-c)^2+ (b-d)^2} \\ \text{d}\left( (a,b),(c,d)\right) = \sqrt{(a-c)^2+ (b-d)^2}
Voltando para a equação analisada no item a, interpretamo-la assim:
\\|z +2| + |z-2| = 6 \\ |z - (-2 + 0i)| + |z - (2 + 0i)| = 6 \\ \text{d}\left( (x,y), (-2, 0) \right)+ \text{d} \left((x,y),(2,0) \right) = 6
Note que a expressão acima é formalmente idêntica à definição de elipse:
\text{d}\left( P, F_1 \right) + \text{d}\left( P, F_2 \right) = 2a
Na forma reduzida e com eixo maior horizontal, a elipse tem focos (c, 0) e (-c, 0). Portanto, a figura procurada é uma elipse com a = 3, c = 2 e portanto b = \sqrt{3^2-2^2} = \sqrt{5}.
Assim, ela terá focos (2, 0) e (-2, 0), eixo maior medindo 6 e eixo menor medindo 2√5.

Realmente, obrigado pela correção Rodrigo, já editei. Belíssimo comentário, sem dúvida é de grande valia, a diferença ou a soma pode ser obtida pela regra do paralelogramo, certo? Abraços.

Willian Honorio escreveu:Realmente, obrigado pela correção Rodrigo, já editei. Belíssimo comentário, sem dúvida é de grande valia, a diferença ou a soma pode ser obtida pela regra do paralelogramo, certo? Abraços.

Sim, pela regra do paralelogramo (soma), ou do "triângulo" (diferença), o que é equivalente a somar (ou subtrair) coordenada a coordenada. A soma dos complexos é perfeitamente intercambiável com a soma dos vetores.

Valeu, Rodrigo, me acrescentou bastante!