numeros complexos ou geometria?

Um matemático, observando um vitral com o desenho de um polígono
inscrito em um círculo, verificou que os vértices desse polígono
poderiam ser representados pelas raízes cúbicas complexas do número 8. A
área do polígono observado pelo matemático equivale a:

a) raiz de 3
b) 2 raiz de 3
c) 3 raiz de 3
d) 4 raiz de 3

Leozinho,

Respondendo à sua pergunta: ambos.

1) Complexos:

a) Para saber que os n vértices, soluções de z^1/n , ficam equidistantes angularmente de um ângulo 360°/n:

n = 3

Ângulo Interno = 360°/3 = 120°

b) Para saber o raio do círculo circunscrito é r = |z|^1/n:

r = 8^1/n= ∛8 = 2

Polígono: Triângulo equilátero inscrito num círculo de raio ∛8 = 2

No plano complexo (ou de Argand, ou de Argand-Gauss):




2) Geometria:

a) Para saber que o triângulo é equilátero.

b) Para saber a área do triângulo equilátero inscrito num círculo de raio r:

A reta de suporte do raio também o é da altura, da bissetriz, da mediatriz e da mediana.

Isto é, no triângulo equilátero as bissetrizes, medianas, alturas e mediatrizes partindo de um mesmo vértice são coincidentes e iguais em dimensão.

Como o incentro — encontro das bissetrizes — também é centro do círculo circunscrito, o circuncentro — encontro das mediatrizes —, como o baricentro — encontro das medianas — divide as mediana em segmentos proporcionais a 2 e a 1, a contar do vértice, temos:

r = 2/3 da (altura)

r = 2h/3

h = 3r/2

h = 3.2/2

h = 3

Do triângulo equilátero temos:

h = L√3/2

L = 2h/√3 = 2h√3/3 = 2(3r/2)√3/3 = r√3

L = 2√3

L = b

b = r√3

b = 2√3

A = bh/2

A = ( r√3 )( 3r/2 )/2

A = 3r²√3/4  (Àrea do triângulo equilátero cinscunscrito num círculo de raio r)

A = 3.2²√3/4

A = 3√3

Solução completa usando Fórmula de Moivre

z = 8 ----> z = 8*(cos0 + i*sen0)

w = ³\/8 ----> w = ³\/8*[cos(0 + 2k*pi)/3 + i*sen(0 + 2k*pi)/3] ----> w = 2*[cos(2k*pi/3) + i*sen(2k*pi/3)]

k = 0 ----> w' = 2*[cos(0) + i*sen(0)] ----> w' = 2*(1 + i*0) ----> w' = 2

k = 1 ----> w" = 2*[cos(2pi/3) + i*sen(2pi/3)] ----> w" = 2*(-1/2 + \/3/2) ----> w" = - 1 + \/3

k = 2 ----> w"' = 2*[cos(4pi/3) + i*sen(4pi/3)] ----> w' = 2*(1/2 - i*\/3/2) ---> w' = - 1 - \/3

Veja agora o desenho do rihan e calcule a área do triângulo

Grão-Mestre Elcioschin,

Havia trocado raio por lado na 1ª solução...

Agora está correta a resposta.

Saudações complexas.

Mestre, desculpe voltar a questão.
Só me responda uma coisinha: por que pôs k = 1, k = 2 e k = 3? Teríamos de chutar essas valores, uma vez que são os menores números naturais ?
Ah, e não poderíamos colocar mais valores para k, supondo até 6 ou 8 ? Poderia ser um hexágono ou um octógono inscrito numa circunferência, não ?

Não, não temos que chutar: como são 3 raízes e a 1ª raiz equivale a k = 0, as outras duas são para k = 1 e k = 2

Por isto para raízes cúbicas, como dito no enunciado o máximo valor de k = 2
Se fosse raízes quárticas ---> k = 3
.................................................
Para raízes de grau n ---> k = n - 1