OBMEP 2011

Alberto, Bernardo e Carlos disputaram uma corrida, na qual cada um deles correu com velocidade constante durante todo o percurso. Quando Alberto cruzou a linha de chegada, Bernardo e Carlos estavam 36 e 46 metros atrás dele, respectivamente. Quando Bernardo cruzou a linha de chegada, Carlos estava 16 metros atrás dele. Qual é o comprimento da pista?

a) 96 m
b) 100 m
c) 120 m
d) 136 m
e) 144 m

Gabarito:

Spoiler:

Sejam v_A, v_B e v_C as velocidades de Alberto, Bernardo e Carlos, respectivamente.

"Quando Bernardo cruzou a linha de chegada, Carlos estava 16 metros atrás dele"

ou seja, quando Bernardo percorrer 36 m, Carlos percorrerá 30 m no mesmo intervalo de tempo. Portanto:



Seja y o comprimento total da pista:

"Quando Alberto cruzou a linha de chegada, Bernardo e Carlos estavam 36 e 46 metros atrás dele"

logo, quando Alberto percorreu 36 m, Bernardo percorreu y-36 e Carlos percorreu y-46 no mesmo intervalo de tempo. Desse modo:

Giovana, vou ser sincero... Achei que a solução oficial da OBMEP era confusa, até ver a sua... Não entendi nada disso aí!

Veja aos 1:25: 
https://www.youtube.com/watch?v=PODmzSYgE9w

Ela diz:
"A razão entre as velocidades também é a mesma razão entre o espaço que eles percorreram, porque o tempo que eles gastaram foi o mesmo."

Um chegou primeiro que o outro, como que gastaram o mesmo tempo?

Enfim, assim como em outras questões, isso tá abstrato, não entra na minha cabeça, não entendo o raciocínio direito. Sou muito ruim em matemática.

Nota: Recomendo que você veja o vídeo da professora antes de ler minha explicação.

Veja o seguinte:



Para Bernardo terminar o percurso ele irá percorrer os 36 m que faltam. Veja que quando Bernardo chega à linha de chegada, Carlos que estava há 46 m do fim da pista passou a estar há apenas 16 m do fim (afinal, enquanto Bernardo corria, Carlos também corria), portanto no mesmo momento em que Bernardo percorre 36 m, Carlos percorre 46-16=30 m. Portanto, Carlos e Bernardo gastaram o mesmo tempo para percorrer 30 m e 36 m, respectivamente, e não para percorrer a pista toda. Esse é o motivo da passagem abaixo:



"Um chegou primeiro que o outro, como que gastaram o mesmo tempo?"

Neste caso, quando a professora diz que eles gastaram o mesmo tempo, ela não está se referindo ao percurso todo, ou seja, eles não gastaram o mesmo tempo para percorrer todo o percurso. Ela quis dizer que: quando Carlos percorreu todo o percurso menos 16 m, no mesmo tempo, Bernardo percorreu o percusso inteiro. A partir daí concluímos que:



Espero que você tenha entendido, do contrário, pode colocar suas dúvidas aí que eu tento explicar.

Agora sim, muito obrigado, Giovana!

Vim do futuro para resolver essa questão de forma extramente simples, após aprender com o professor Leandro Morgado do youtube - o Morgado reencarnado.

Como as velocidades são constantes, as distâncias são proporcionais, sendo assim:
x-36 ----- x-46
x -------- x-16

Multiplicando cruzado, encontra-se x = 96 m.