Arranjo e combinação

A reforma agrária ainda é um ponto crucial para se estabelecer
uma melhor distribuição de renda no Brasil. Uma comunidade de
sem-terra, após se alojar numa fazenda comprovadamente
improdutiva, recebe informação de que o INCRA irá receber uma
comissão para negociações. Em assembleia democrática, os
sem-terra decidem que tal comissão será composta por um
presidente geral, um porta-voz que repassará as notícias à
comunidade e aos representantes e um agente que cuidará da
parte burocrática das negociações. Além desses com cargos
específicos, participarão dessa comissão mais 6 conselheiros
que auxiliarão indistintamente em todas as fases da negociação.
Se, dentre toda a comunidade, apenas 15 pessoas forem
consideradas aptas aos cargos, o número de comissões distintas
que poderão ser formadas com essas 15 pessoas é obtido pelo
produto

A) 13. 11. 7. 5^2. 3^2. 2^4
B) 13. 11. 7. 5. 3. 2
C) 13. 11. 7^2. 5^2. 3^^. 2^6
D) 13. 7^3. 5^3. 3^3. 2^6
E) 13. 11. 7^2. 5. 3^2. 2^3

Gabarito:

Dentre 15 pessoas é preciso escolher 3+6=9 para formar a comissão.
Sendo 3 cargos distintos entre si e os outros 6 iguais.

Para escolher representantes para os três primeiros cargos A,B e C, importam a ordem e a natureza das pessoas. É diferente colocar João, Pedro e Marcos na ordem ABC de cargos e numa outra ordem BCA de cargos, por exemplo. Isso nos sugere que o cálculo dessas possibilidades requer o uso do P.F.C, ou seja, para o primeiro cargo há 15 maneiras de escolher uma entre 15 pessoas disponíveis, para o segundo cargo há 14 maneira e para o terceiro há 13. Do P.F.C vem 15.14.13=2.3.5.7.13 maneiras (sendo que, conforme sugerem as alternativas, fatorei a resposta em números primos)

Agora, basta escolher 6 entre as 12 pessoas restantes para preencher todas as 6 vagas iguais que restam. Para isso usamos combinações simples de C(12,6) =3.2^2.7.11
Multiplicando esta resposta pela primeira vem 2^3.3^2.5.7^2.11.13 maneiras.