ITA Trigonometria

por Pedro Prado Seg 25 Jul 2016, 21:28

Sejam x e y pertencentes ao intervalo [0, π]. Determine todos os pares ordenados (x, y) tais que:

$\begin{cases} \sqrt2 \cos x-\sin y =1/2 \\ \sqrt2 \sin x+\sqrt3\cos y=-1/2 \end{cases}$

Solução parcial:

$\begin{cases} \sqrt2 \cos x-\sin y =1/2 \\ \sqrt2 \sin x+\sqrt3\cos y=-1/2 \end{cases}$

Somando as duas equações:

$\sqrt2\sin x+\sqrt2\cos x=\sin y+\sqrt3 \cos y$

Pelo "truque do triângulo retângulo", temos:

$\\\frac{\sqrt2\sin x}{2}+\frac{\sqrt2\cos x}{2}=\frac{\sin y}{2}+\frac{\sqrt3 \cos y}{2}\\\\\cos 45 . \sin x+\sin 45 . \cos x=\cos 60.\sin y+\sin 60. \cos y\\\\\sin{(x+45)}=\sin(y+60)\rightarrow \boxed{x=y+15}$

Travei...os caminhos que eu tento a partir daí me levam a cálculos imensos.

por muriloogps Seg 25 Jul 2016, 22:27

Acho que você somou as equações incorretamente. :/

por Milly Seg 25 Jul 2016, 23:14

Boa noite,

$\sqrt{2}(senx+cosx)=seny-\sqrt{3} cosy$
$\frac{\sqrt{2}}{2}(senx+cosx)=\frac{seny}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}cosy$
$sen(x+45)=sen(y+300)$

E com isso temos 2 possibilidades
$x+45=-(y+300)+kpi$
$x=-y-345+kpi$

OU

$x+45=y+300+2kpi$
$x=y+255+2kpi$

Bem,pelo menos eu teria feito assim!

por **Claudir** Seg 25 Jul 2016, 23:49

Isole o √2.cosx numa equação e o √2.senx na outra. Eleve os dois lados das duas equações ao quadrado e some-as. Deixe tudo em função de seny e eleve ao quadrado novamente para que desapareça a raíz.

Você vai obter uma equação do quarto grau em função de seny. Agora teste as raízes racionais e abaixe o grau por briot-ruffini para obter as outras raízes.

A partir das duas raízes que fazem sentido com o intervalo do enunciado, obtenha os dois ângulos y possíveis e use as duas equações iniciais para achar os dois ângulos x correspondentes.

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