AFA 2016/ Trigonometria

por Leopes Seg 25 Jul 2016, 10:42

QUESTÂO: Considere a função real sobrejetora f: A → B definida por f(x)= sen3x/senx - cos3x/cosx

sobre f é FALSO afirmar que

a) o conjunto A é { x ∈ ℝ | x ≠ k∏/2, k ∈ ℤ}
b) f é par
c) f é injetora
d) B = {2}

OBs: gabarito é letra c.

por GFMCarvalho Seg 25 Jul 2016, 11:09

Bom dia, vou simplificar a equação para analisarmos melhor:

\frac{sen3x}{senx}-\frac{cos3x}{cosx}=\frac{3senx-4sen^3x}{senx}-\frac{4cos^3x-3cosx}{cosx}

=3-4sen^2x-4cos^2x+3

6-4(sen^2x+cos^2x)=6-4=2

Logo, a imagem é B = {2}, f(-x) = f(x), que significa que f é par e temos que senx e cos x devem ser diferentes de zero, logo, A é definido como:
A = {x ∈ ℝ| x ≠ k∏/2, k ∈ ℤ}
Como a imagem é única, a função não pode ser injetora (para ser, cada elemento do domínio deveria estar associado a um único elemento do contradomínio), logo, a alternativa incorreta é a letra C

por Leopes Seg 25 Jul 2016, 11:34

Vlw ai ajudou mto.. Surprised

por **rodrigoneves** Seg 25 Jul 2016, 14:08

A explicação do GFM é perfeita.
Mas vou mostrar outro caminho para a simplificação, apenas a título de enriquecer o tópico. (Em trigonometria, sempre há caminhos alternativos, hahaha)
f(x) = \frac{\text{sen}\,3x }{\text{sen}\,x} - \frac{\cos{3x}}{\cos{x}} = \frac{\text{sen}\,3x \cdot \cos{x} - \text{sen}\,x \cdot \cos{3x}}{\text{sen}\, x \cdot \cos{x}}
Vemos que o que há no denominador é a fórmula para sen (a - b), onde a = 3x e b = x
f(x) = \frac{\text{sen}\,\left( 3x - x\right )}{\text{sen}\,x \cos{x} } = \frac{\text{sen}\, 2x}{\text{sen}\, x \cos{x}} = \frac{2 \text{sen}\, x \cos{x}}{\text{sen}\, x \cos{x}} \therefore f(x) = 2 \, \left( x \in D_f\right )

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