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ufsc 2016 trigonometria

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Mensagem por leco1398 Qua 27 Jul 2016, 11:43

Assinale as CORRETAS

01. Se sen(x/2) = 1/3, então (senx + cosx), com x no primeiro quadrante, é (7 + 4(2)1/2 )/9


02. A função f(x) = cos( (x+pi)/2), possui período igual a 4pi.


Gabarito: 01

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Mensagem por GFMCarvalho Qua 27 Jul 2016, 12:02

Sabemos que:

sen(x/2)=\sqrt{\frac{1-cosx}{2}}

\frac{1}{3}=\sqrt{\frac{1-cosx}{2}}

\frac{1}{9}=\frac{1-cosx}{2}

\frac{2}{9}=1-cosx

cosx=\frac{7}{9}

Agora descobrimos o seno:

senx=\sqrt{1-cos^2x}

senx=\sqrt{1-\frac{49}{81}}

senx=\sqrt{\frac{32}{81}}

senx=\frac{4\sqrt{2}}{9}


Por fim:

senx+cosx=\frac{4\sqrt2}{9}+\frac{7}{9}=\frac{7+4.(2)^{\frac{1}{2}}}{9}

Terminamos o item 1 e vemos que é verdadeiro.

Item 2:

f(x)=cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{2}\right)

T=\frac{2\pi}{\frac{1}{2}}

T=4\pi

Sim, a função possui período 4pi. Tem certeza de seu gabarito?

Soma = 3
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Mensagem por leco1398 Qua 27 Jul 2016, 12:15

Faltou um detalhe, na afirmativa 02. ele afirma também que essa função cosseno é par. Toda função cosseno é par, não é?

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Mensagem por GFMCarvalho Qua 27 Jul 2016, 12:36

Vamos calcular f(\pi) e f(-\pi)

f(\pi)=cos(\pi/2+\pi/2)=cos\pi=-1

f(-\pi)=cos(-\pi/2+\pi/2)=cos0=1

Assim, f(-x) = -f(x), a função é ímpar

E sim, as funções f(x) = cos(x) são pares, mas note que essa é escrito como

f(x)=cos(x/2+\pi/2) , que pode ser escrita como f(x) = sen(x/2) , pelas transformações que você já deve ter estudado. Assim, temos uma função seno, que é ímpar.
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Mensagem por leco1398 Qua 27 Jul 2016, 13:35

valeu monstro!

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