Limite de duas variáveis

por chandelier Sex 22 Jul 2016, 01:36

Queria saber como resolver os seguintes limites:

lim cos (x³/x²+y²)
x->0
y->0

lim x³-xy²/x+y
x->1
y->-1

Obrigada desde já!! Surprised

por **Giovana Martins** Seg 15 Out 2018, 18:18

Para o primeiro item, eu irei fazer uma mudança de coordenadas, das coordenadas cartesianas para as polares.

\\x=rcos(\theta)\ \wedge\ y=rsen(\theta)\ \therefore \ x^2+y^2=r^2\\\\\frac{x^3}{x^2+y^2}=\frac{r^3cos^3(\theta)}{r^2}=rcos^3(\theta)\\\\\therefore \ \lim_{(x,y)\to (0,0)}\left ( \frac{x^3}{x^2+y^2} \right )=\lim_{r\to 0^{+}}\left [ rcos^3(\theta) \right ]=0\\\\\lim_{(x,y)\to (0,0)}cos\left ( \frac{x^3}{x^2+y^2} \right )=\lim_{r\to 0^{+}}cos[rcos^3(\theta)]=1\\\\\therefore \ \boxed {\lim_{(x,y)\to (0,0)}\left ( \frac{x^3}{x^2+y^2} \right )=1}\\\\\mathrm{Nota:}\ r=\sqrt{x^2+y^2}\ \therefore \ r>0,\mathrm{logo:\ } r\to0^{+}\\\\

Não tenho total certeza de que esta é a resolução, mas a resposta de fato é 1 (conferi no Wolfram Razz

).

O segundo item já é bem mais fácil...

\\\frac{x^3-xy^2}{x+y}=\frac{x(x^2-y^2)}{x+y}=\frac{x(x+y)(x-y)}{x+y}=x^2-xy,se\ x\neq -y\\\\\lim_{(x,y)\to (1,-1)}\left ( \frac{x^3-xy^2}{x+y} \right )=\lim_{(x,y)\to (1,-1)}(x^2-xy)\ \therefore \ \boxed {\lim_{(x,y)\to (1,-1)}\left ( \frac{x^3-xy^2}{x+y} \right )=2}

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