Distribuição de prêmios

Dois prêmios devem ser distribuídos entre n pessoas, de modo que uma pessoa não receba mais que um prêmio. Se os prêmios forem iguais, a distribuição poderá ser feita de k + 20 maneiras, mas se os prêmios forem distintos a distribuição poderá ser feita de 4k – 10 maneiras. O número n é:

a)8
b)10
c)15
d)25
e)40 


Havia visto sem alternativas, pesquisando, há um suposto gabarito - sem resolução - que indica ser B (10). Achei a fonte também: um material da VestCursos, editei com as alternativas originais.

Por favor, poste as alternativas, e, se possível, o gabarito (Regra XI do fórum).

Eu achei n = 9

Coloquei-as.

Sem usar fórmulas e raciocinando para prêmios iguais:

n = 2 ---> 1 modo (A e B levam prêmios iguais)
n = 3 ---> 3 modos (AB, AC, BC)
n = 4 ---> 6 modos (AB, AC, AD, BC, BD, CD)
n = 5 ---> 10 modos
n = 6 ---> 15 modos
n = 7 ---> 21 modos
n = 8 ---> 28 modos
n = 9 ---> 36 modos
n = 10 --> 45 modos

Se os prêmios forem diferentes o total de modos é o dobro, pois os dois prêmios podem trocar de mãos.

4.k - 10 = 2.(k + 20) ---> k = 25

k + 20 = 45 ---> n = 10

Só uma dúvida: o fato do k ser igual a 45 implica em n = 10 por ser uma combinação de n tomado a 2 ou você chegou nesse valor por outro raciocínio?

Sempre existirão 45 possibilidades para distribuição de dois prêmios iguais entre 10 pessoas.

As possibilidades seguem o triângulo de Pascal: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 ...

................... 1 - 2 - 1
................ 1 - 3 - 3 - 1
............. 1 - 4 - 6 - 4 - 1
.......... 1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1
........ 1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1
...... 1 - 7 - 21 - 35 - 35 - 21 - 7 - 1
.... 1 - 8 - 28 - 56 - 70 - 56 - 28 - 8 - 1
.. 1 - 9 - 36 - 84 - 126 - 126 - 84 - 36 - 9 - 1
1 - 10 - 45 - 129 ....

Temos uma Combinação e um Arranjo:

C n,2 = K + 20             A n,2 = 4k - 10

Monte um sistema:

K + 20 = n!/2(n-2)!     Combinação (Esse 2 multiplica pelo outro lado)
4k - 10= n!/(n-2)!         Arranjo

2k + 40 = n!/(n-2)!
4k - 10 =n!/(n-2)!               perceba que n!/(n-2) tem 2 valores

Então 2k + 40 = 4k - 10
         -2k = -50
          2k = 50
            k = 25

usando um dos dois:  k + 20 = n!/2(n-2)
                                2k + 40 = n!(n-2)
                                2.(25) + 40 = n. (n-1). (n-2)!/(n-2)!
                                 50 + 40 = n. (n-1) 
                                  90 = n2 - n 
                                          n2 - n - 90 (resolver por baskara)
                                          n = 10 ou n = -9
                                          Assim a resposta = 10